Considere a função . Então e .
Encontre os pontos de máximo, mínimo e de inflexão, caso existam.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função e suas derivadas primeira e segunda. O que precisamos fazer é encontrar os pontos de máximo, mínimo e de inflexão dessa função. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas: a primeira para achar os pontos críticos e determinar máximos e mínimos, e a segunda para encontrar os pontos de inflexão, onde a concavidade da função muda.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos onde a derivada primeira é igual a zero ou não existe. Esses pontos são chamados de pontos críticos e podem ser candidatos a máximos ou mínimos.
Temos:
Vamos igualar a zero:
A fração será zero quando o numerador for zero, então:
Então, é um ponto crítico.

Passo 3

Agora, vamos verificar se esse ponto crítico é um ponto de máximo ou mínimo usando a derivada segunda .
Temos:
Vamos avaliar :
Como , isso indica que a função é côncava para baixo nesse ponto, ou seja, é um ponto de máximo.

Passo 4

Agora, vamos encontrar os pontos de inflexão. Para isso, vamos verificar onde a derivada segunda muda de sinal, ou seja, onde ou não existe.
Vamos analisar o numerador e o denominador separadamente:
  1. Numerador:
Isso não tem solução real, já que não pode ser negativo.
  1. Denominador:
Nos e , a derivada segunda não existe, mas precisamos verificar se há mudança de concavidade nesses pontos.
Vamos escolher valores próximos a e :
  • Para ligeiramente menor que 2, digamos :
O denominador será negativo, então .
  • Para ligeiramente maior que 2, digamos :
O denominador será positivo, então .
Isso mostra que há uma mudança de concavidade em . O mesmo acontece em . Portanto, temos pontos de inflexão em e .

Resposta

A função possui um ponto de máximo em e pontos de inflexão em e . Não há pontos de mínimo.

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