Considere a função
. Então
e
.
Encontre os pontos de máximo, mínimo e de inflexão, caso existam.
Encontre os pontos de máximo, mínimo e de inflexão, caso existam.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função
e suas derivadas primeira e segunda. O que precisamos fazer é encontrar os pontos de máximo, mínimo e de inflexão dessa função. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas: a primeira para achar os pontos críticos e determinar máximos e mínimos, e a segunda para encontrar os pontos de inflexão, onde a concavidade da função muda.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos onde a derivada primeira
é igual a zero ou não existe. Esses pontos são chamados de pontos críticos e podem ser candidatos a máximos ou mínimos.
Temos:
Vamos igualar a zero:
A fração será zero quando o numerador for zero, então:
Então,
é um ponto crítico.
Passo 3
Agora, vamos verificar se esse ponto crítico é um ponto de máximo ou mínimo usando a derivada segunda
.
Temos:
Vamos avaliar
:
Como
, isso indica que a função é côncava para baixo nesse ponto, ou seja,
é um ponto de máximo.
Passo 4
Agora, vamos encontrar os pontos de inflexão. Para isso, vamos verificar onde a derivada segunda muda de sinal, ou seja, onde
ou não existe.
Vamos analisar o numerador e o denominador separadamente:
- Numerador:
Isso não tem solução real, já que
não pode ser negativo.
- Denominador:
Nos
e
, a derivada segunda não existe, mas precisamos verificar se há mudança de concavidade nesses pontos.
Vamos escolher valores próximos a
e
:
- Para
ligeiramente menor que 2, digamos :
O denominador será negativo, então
.
- Para
ligeiramente maior que 2, digamos :
O denominador será positivo, então
.
Isso mostra que há uma mudança de concavidade em
. O mesmo acontece em
. Portanto, temos pontos de inflexão em
e
.
Resposta
A função possui um ponto de máximo em
e pontos de inflexão em
e
. Não há pontos de mínimo.