Considere a função
.
Utilizando o item anterior, encontre uma série que representa a função
.
Passo 1
Ok, vamos lá! O exercício pede para encontrar uma série que representa a função
. A gente já tem a função
do item anterior. Vamos usar conhecimentos de séries de Taylor para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a série de Taylor para
. A série de Taylor dessa função em torno de 0 é:
Essa série é válida para
.
Passo 3
Agora, vamos analisar a função que queremos representar:
. Podemos reescrever isso usando propriedades dos logaritmos:
Então, temos duas partes:
que já conhecemos, e
.
Passo 4
Vamos encontrar a série de Taylor para
. Seguindo o mesmo processo que fizemos para
, temos:
Essa série também é válida para
.
Passo 5
Agora, vamos subtrair as duas séries para obter
:
Simplificando, temos:
Resposta
A série que representa
é: