Considere a função f(x) = ln(1+x). 2,0 Utilizando o item anterior, encontre uma série que representa a função g(x) = ln((1+x)/(1-x)).

Passo 1

Ok, vamos lá! O exercício pede para encontrar uma série que representa a função . A gente já tem a função do item anterior. Vamos usar conhecimentos de séries de Taylor para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a série de Taylor para . A série de Taylor dessa função em torno de 0 é:
Essa série é válida para .

Passo 3

Agora, vamos analisar a função que queremos representar: . Podemos reescrever isso usando propriedades dos logaritmos:
Então, temos duas partes: que já conhecemos, e .

Passo 4

Vamos encontrar a série de Taylor para . Seguindo o mesmo processo que fizemos para , temos:
Essa série também é válida para .

Passo 5

Agora, vamos subtrair as duas séries para obter :
Simplificando, temos:

Resposta

A série que representa é:

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