Mostre que a EDO
é exata e encontre a solução geral.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui! O exercício pede para mostrar que a Equação Diferencial Ordinária (EDO):
é exata e, em seguida, encontrar a solução geral dela. Vamos usar os conceitos de equações diferenciais exatas para resolver isso. Precisaremos entender o que torna uma EDO exata e como encontrar a solução geral quando ela é exata.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a EDO de uma forma mais familiar. Podemos organizar os termos assim:
Isso facilita identificar as funções que multiplicam e os termos independentes.

Passo 3

Agora, vamos lembrar o que faz uma EDO ser exata. Uma equação da forma:
é exata se existir uma função tal que:
Para verificar se a EDO é exata, precisamos checar se:

Passo 4

Vamos identificar e na nossa equação.
Comparando com a forma geral, temos:

Passo 5

Agora, vamos calcular as derivadas parciais:
Primeiro, a derivada de em relação a :
Segundo, a derivada de em relação a :

Passo 6

Agora, vamos comparar as duas derivadas:
Vemos que elas não são iguais:
Isso indica que a EDO não é exata. Mas pera aí! O exercício pede para mostrar que ela é exata, então vamos verificar se talvez fizemos algum erro na identificação de e .

Passo 7

Vamos reescrever a equação original para ter certeza da identificação correta:
Isso pode ser escrito como:
Agora, identificamos:

Passo 8

Vamos recalcular as derivadas parciais com a identificação correta:
Primeiro, a derivada de em relação a :
Segundo, a derivada de em relação a :

Passo 9

Agora, com a identificação correta, comparamos as derivadas:
Vemos que:
Isso confirma que a EDO é exata!

Passo 10

Como a EDO é exata, podemos encontrar uma função tal que:
Vamos integrar em relação a para encontrar :
Aqui, é uma função que depende apenas de , pois a integração foi em relação a .

Passo 11

Agora, derivamos em relação a e igualamos a para determinar :
Comparando os termos:
Podemos ver que:
Integrando ambos os lados em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 12

Agora, substituímos de volta na expressão de :
Como estamos procurando a solução geral da EDO, podemos escrever:
Então, temos:

Resposta

A solução geral da EDO é:
Onde é uma constante real.

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