Mostre que a EDO
é exata e encontre a solução geral.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui! O exercício pede para mostrar que a Equação Diferencial Ordinária (EDO):
é exata e, em seguida, encontrar a solução geral dela. Vamos usar os conceitos de equações diferenciais exatas para resolver isso. Precisaremos entender o que torna uma EDO exata e como encontrar a solução geral quando ela é exata.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a EDO de uma forma mais familiar. Podemos organizar os termos assim:
Isso facilita identificar as funções que multiplicam
e os termos independentes.
Passo 3
Agora, vamos lembrar o que faz uma EDO ser exata. Uma equação da forma:
é exata se existir uma função
tal que:
Para verificar se a EDO é exata, precisamos checar se:
Passo 4
Vamos identificar
e
na nossa equação.
Comparando com a forma geral, temos:
Passo 5
Agora, vamos calcular as derivadas parciais:
Primeiro, a derivada de
em relação a
:
Segundo, a derivada de
em relação a
:
Passo 6
Agora, vamos comparar as duas derivadas:
Vemos que elas não são iguais:
Isso indica que a EDO não é exata. Mas pera aí! O exercício pede para mostrar que ela é exata, então vamos verificar se talvez fizemos algum erro na identificação de
e
.
Passo 7
Vamos reescrever a equação original para ter certeza da identificação correta:
Isso pode ser escrito como:
Agora, identificamos:
Passo 8
Vamos recalcular as derivadas parciais com a identificação correta:
Primeiro, a derivada de
em relação a
:
Segundo, a derivada de
em relação a
:
Passo 9
Agora, com a identificação correta, comparamos as derivadas:
Vemos que:
Isso confirma que a EDO é exata!
Passo 10
Como a EDO é exata, podemos encontrar uma função
tal que:
Vamos integrar
em relação a
para encontrar
:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
, pois a integração foi em relação a
.
Passo 11
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
para determinar
:
Comparando os termos:
Podemos ver que:
Integrando ambos os lados em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 12
Agora, substituímos
de volta na expressão de
:
Como estamos procurando a solução geral da EDO, podemos escrever:
Então, temos:
Resposta
A solução geral da EDO é:
Onde
é uma constante real.
Exercícios relacionados
Encontre
e
para a função
.
Encontre a área (usando integrais definidas) da região limitada pelas curvas dadas. Esboce o gráfico.
e
;
Considere a função
.
Utilizando o item anterior, encontre uma série que representa a função
.
Encontre a área (usando integrais definidas) da região limitada pelas curvas dadas. Esboce o gráfico.
e
;