Encontre a área (usando integrais definidas) da região limitada pelas curvas dadas. Esboce o gráfico.
e ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da região que está delimitada pelas curvas , e . Para isso, vamos usar integrais definidas, que é uma ferramenta da matemática para calcular áreas sob curvas. Vamos precisar entender como essas curvas se comportam e onde elas se encontram para determinar os limites da nossa integral.

Passo 2

Primeiro, vamos entender onde as curvas se cruzam para saber os limites de integração. Temos , que é a função logarítmica, , uma linha vertical, e , uma linha horizontal. Vamos achar os pontos de interseção entre essas curvas.

Passo 3

Vamos encontrar onde cruza . Igualando as duas equações:
Para resolver isso, vamos usar a propriedade inversa do logaritmo. Sabemos que se , então:
Então, o ponto de interseção é .

Passo 4

Agora, temos que a região que queremos calcular a área está entre e , entre as curvas e . Para encontrar a área entre duas curvas, usamos a seguinte fórmula de integral definida:
Á
Onde é a curva de cima e a curva de baixo.

Passo 5

Nesse caso, (a linha horizontal) e (a curva logarítmica). Os limites de integração são de até . Então, nossa integral fica:
Á

Passo 6

Vamos calcular essa integral. Primeiro, integramos cada termo separadamente:
Então, nossa integral se torna:
Á
Simplificando dentro dos colchetes:
Á

Passo 7

Agora, vamos avaliar essa expressão nos limites e :
Para :
Para :
Então, a área é:
Á

Resposta

A área da região limitada pelas curvas é unidades quadradas.

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