Encontre a área (usando integrais definidas) da região limitada pelas curvas dadas. Esboce o gráfico.
e
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da região que está delimitada pelas curvas
,
e
. Para isso, vamos usar integrais definidas, que é uma ferramenta da matemática para calcular áreas sob curvas. Vamos precisar entender como essas curvas se comportam e onde elas se encontram para determinar os limites da nossa integral.
Passo 2
Primeiro, vamos entender onde as curvas se cruzam para saber os limites de integração. Temos
, que é a função logarítmica,
, uma linha vertical, e
, uma linha horizontal. Vamos achar os pontos de interseção entre essas curvas.
Passo 3
Vamos encontrar onde
cruza
. Igualando as duas equações:
Para resolver isso, vamos usar a propriedade inversa do logaritmo. Sabemos que se
, então:
Então, o ponto de interseção é
.
Passo 4
Agora, temos que a região que queremos calcular a área está entre
e
, entre as curvas
e
. Para encontrar a área entre duas curvas, usamos a seguinte fórmula de integral definida:
Onde
é a curva de cima e
a curva de baixo.
Passo 5
Nesse caso,
(a linha horizontal) e
(a curva logarítmica). Os limites de integração são de
até
. Então, nossa integral fica:
Passo 6
Vamos calcular essa integral. Primeiro, integramos cada termo separadamente:
Então, nossa integral se torna:
Simplificando dentro dos colchetes:
Passo 7
Agora, vamos avaliar essa expressão nos limites
e
:
Para
:
Para
:
Então, a área é:
Resposta
A área da região limitada pelas curvas é
unidades quadradas.
Exercícios relacionados
Considere a função
.
Utilizando o item anterior, encontre uma série que representa a função
.
Mostre que a EDO
é exata e encontre a solução geral.
Considere uma função real
, periódica de período
, dada, no intervalo (
), por
.
Esta é uma função par ou ímpar? explique;
Seja a EDO
a)
Encontre uma solução particular da forma
;