Dada a curva com equações paramétricas
e
, expresse o comprimento de arco
como uma função de
, onde
é medido a partir do ponto onde
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma curva definidas por duas equações paramétricas:
e . O que a gente precisa descobrir é o comprimento do arco
dessa curva, começando do ponto onde
. Para isso, vamos usar um pouco de cálculo, especificamente a fórmula do comprimento de arco para curvas paramétricas.
Passo 2
Primeiro, a gente precisa lembrar como calcular o comprimento de arco para uma curva definida por
e
. A fórmula é:
Aqui,
e
são as derivadas das funções
e
em relação a
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de
e
:
Para
:
Para :
Passo 4
Agora, vamos substituir
e
na fórmula do comprimento de arco:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Explicando: quando somamos os quadrados, os termos cruzados vão cancelar.
Passo 6
Calculando os quadrados:
Porque .
Passo 7
Substituindo de volta na integral:
Passo 8
Integrando
:
Como estamos calculando um intervalo de 0 até
, a constante
não importa.
Passo 9
Finalizando a integral:
Resposta
O comprimento de arco
em função de
é:
Exercícios relacionados
Considere a função
Determine sa curvas de nível de
para
e
.
Determine e faça um esboço do domínio das seguintes funções:
Determine se o limites existem ou não, e calcule os valores no caso existirem
.
Determine se o limites existem ou não, e calcule os valores no caso existirem
.