Dada a curva com equações paramétricas e , expresse o comprimento de arco como uma função de , onde é medido a partir do ponto onde .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma curva definidas por duas equações paramétricas: e . O que a gente precisa descobrir é o comprimento do arco dessa curva, começando do ponto onde . Para isso, vamos usar um pouco de cálculo, especificamente a fórmula do comprimento de arco para curvas paramétricas.

Passo 2

Primeiro, a gente precisa lembrar como calcular o comprimento de arco para uma curva definida por e . A fórmula é:
Aqui, e são as derivadas das funções e em relação a .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de e :
Para :
Para :

Passo 4

Agora, vamos substituir e na fórmula do comprimento de arco:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Explicando: quando somamos os quadrados, os termos cruzados vão cancelar.

Passo 6

Calculando os quadrados:
Porque .

Passo 7

Substituindo de volta na integral:

Passo 8

Integrando :
Como estamos calculando um intervalo de 0 até , a constante não importa.

Passo 9

Finalizando a integral:

Resposta

O comprimento de arco em função de é:

Exercícios relacionados

Considere a função
Determine sa curvas de nível de para e .
Determine e faça um esboço do domínio das seguintes funções:
Determine se o limites existem ou não, e calcule os valores no caso existirem .
Determine se o limites existem ou não, e calcule os valores no caso existirem .