Determine se o limites existem ou não, e calcule os valores no caso existirem .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: . A gente vai usar conceitos de limites em várias variáveis e verificar se o limite existe ou não. Vamos precisar analisar diferentes caminhos para se aproximando de e ver se o resultado é o mesmo em todos eles.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir diretamente e na expressão.
Quando , temos:
Quando , temos:
Então, nessas duas direções, o limite parece ser 0.

Passo 3

Agora, vamos testar um caminho diferente para ver se o limite sempre é 0. Vamos usar , onde é uma constante.
Substituindo na expressão:
Simplificando:
Agora, ao fazer :

Passo 4

Viu só? O resultado depende do valor de . Por exemplo:
  • Se , o limite é .
  • Se , o limite é .
Como o limite varia dependendo do caminho que escolhemos para , isso significa que o limite geral não existe.

Resposta

O limite não existe porque os valores variam conforme o caminho escolhido para se aproximar de .

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Dada a curva com equações paramétricas e , expresse o comprimento de arco como uma função de , onde é medido a partir do ponto onde .
Considere a função
Determine sa curvas de nível de para e .
Determine se o limites existem ou não, e calcule os valores no caso existirem .
Considere a função
Calcule o limite ou mostre que esse limite não existe.