Determine se o limites existem ou não, e calcule os valores no caso existirem lim (x, y) (0,0) x^2 y^2-2 x^3 yx^6+y^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: lim (x, y) (0,0) x^2 y^2-2 x^3 yx^6+y^2. A gente vai usar conceitos de limites em várias variáveis e verificar se o limite existe ou não. Vamos precisar analisar diferentes caminhos para (x, y) se aproximando de (0,0) e ver se o resultado é o mesmo em todos eles.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir diretamente x = 0 e y = 0 na expressão.
Quando x = 0, temos:
0^2 y^2-2 cdot 0^3 y0^6+y^2 = 0 - 00 + y^2 = 0
Quando y = 0, temos:
x^2 cdot 0^2-2 x^3 cdot 0x^6+0^2 = 0 - 0x^6 + 0 = 0
Então, nessas duas direções, o limite parece ser 0.

Passo 3

Agora, vamos testar um caminho diferente para ver se o limite sempre é 0. Vamos usar y = kx^3, onde k é uma constante.
Substituindo y = kx^3 na expressão:
x^2 (k x^3)^2 - 2 x^3 (k x^3)x^6 + (k x^3)^2 = x^2 cdot k^2 x^6 - 2 x^3 cdot k x^3x^6 + k^2 x^6 = k^2 x^8 - 2k x^6x^6(1 + k^2)
Simplificando:
k^2 x^8 - 2k x^6x^6(1 + k^2) = k^2 x^2 - 2k1 + k^2
Agora, ao fazer x 0:
0 - 2k1 + k^2 = -2k1 + k^2

Passo 4

Viu só? O resultado depende do valor de k. Por exemplo:
  • Se k = 1, o limite é -1.
  • Se k = 0, o limite é 0.
Como o limite varia dependendo do caminho que escolhemos para (x, y) (0,0), isso significa que o limite geral não existe.

Resposta

O limite não existe porque os valores variam conforme o caminho escolhido para (x, y) se aproximar de (0,0).

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