Determine se o limites existem ou não, e calcule os valores no caso existirem
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite:
. A gente vai usar conceitos de limites em várias variáveis e verificar se o limite existe ou não. Vamos precisar analisar diferentes caminhos para
se aproximando de
e ver se o resultado é o mesmo em todos eles.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar substituir diretamente
e
na expressão.
Quando
, temos:
Quando
, temos:
Então, nessas duas direções, o limite parece ser 0.
Passo 3
Agora, vamos testar um caminho diferente para ver se o limite sempre é 0. Vamos usar
, onde
é uma constante.
Substituindo
na expressão:
Simplificando:
Agora, ao fazer
:
Passo 4
Viu só? O resultado depende do valor de
. Por exemplo:
- Se
, o limite é . - Se
, o limite é .
Como o limite varia dependendo do caminho que escolhemos para
, isso significa que o limite geral não existe.
Resposta
O limite não existe porque os valores variam conforme o caminho escolhido para
se aproximar de
.
Exercícios relacionados
Dada a curva com equações paramétricas
e
, expresse o comprimento de arco
como uma função de
, onde
é medido a partir do ponto onde
.
Considere a função
Determine sa curvas de nível de
para
e
.
Determine se o limites existem ou não, e calcule os valores no caso existirem
.
Considere a função
Calcule o limite
ou mostre que esse limite não existe.