Considere a função
.
Determine o limite:
com
sendo um ponto da reta
.
Determine o limite:
Passo 1
Beleza! Vamos lá: o exercício nos apresenta uma função
e pede para determinar o limite dessa função quando o ponto
se aproxima de um ponto
que está na reta
.
Conteúdo da matéria: Vamos trabalhar com limites multidimensionais, ou seja, limites que envolvem duas variáveis. Para resolver isso, precisamos entender como simplificar funções e analisar comportamentos quando as variáveis se aproximam de certos valores.
O que vamos precisar: Vamos precisar simplificar a função
e verificar o que acontece com ela quando
se aproxima de pontos na reta
.
Passo 2
Primeiro, vamos observar a expressão do denominador da função:
Perceba que os três primeiros termos formam um quadrado perfeito:
Então, podemos reescrever o denominador como:
Passo 3
Vamos fatorar
do denominador:
Então, a função
fica:
Passo 4
Agora, podemos simplificar a função cancelando o termo
no numerador e denominador:
Atenção: Isso é válido desde que
, mas como estamos analisando o limite quando
se aproxima de 0, podemos considerar essa simplificação para calcular o limite.
Passo 5
Agora, queremos encontrar:
Sabemos que
está na reta
, ou seja,
.
Substituindo
na expressão do limite:
Passo 6
Vamos substituir diretamente
e
na função simplificada:
Resposta
O limite da função
quando
se aproxima de qualquer ponto
na reta
é 1.
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seja contínua no ponto
.
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.
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