Considere a função g(x, y)=x-3 yx^2-6 x y+9 y^2+x-3 y.
Determine o limite: lim (x, y) (a, b) g(x, y) com (a, b) sendo um ponto da reta x-3 y=0.

Passo 1

Beleza! Vamos lá: o exercício nos apresenta uma função e pede para determinar o limite dessa função quando o ponto se aproxima de um ponto que está na reta .
Conteúdo da matéria: Vamos trabalhar com limites multidimensionais, ou seja, limites que envolvem duas variáveis. Para resolver isso, precisamos entender como simplificar funções e analisar comportamentos quando as variáveis se aproximam de certos valores.
O que vamos precisar: Vamos precisar simplificar a função e verificar o que acontece com ela quando se aproxima de pontos na reta .

Passo 2

Primeiro, vamos observar a expressão do denominador da função:
x^2 - 6xy + 9y^2 + x - 3y
Perceba que os três primeiros termos formam um quadrado perfeito:
x^2 - 6xy + 9y^2 = (x - 3y)^2
Então, podemos reescrever o denominador como:
(x - 3y)^2 + x - 3y

Passo 3

Vamos fatorar (x - 3y)^2 + x - 3y = (x - 3y)(x - 3y + 1) do denominador:
g(x, y) = x - 3y(x - 3y)(x - 3y + 1)
Então, a função fica:

Passo 4

Agora, podemos simplificar a função cancelando o termo g(x, y) = 1x - 3y + 1 no numerador e denominador:
Atenção: Isso é válido desde que , mas como estamos analisando o limite quando se aproxima de 0, podemos considerar essa simplificação para calcular o limite.

Passo 5

Agora, queremos encontrar:
lim(x, y) (a, b) 1x - 3y + 1
Sabemos que lim(x, y) (3b, b) 1x - 3y + 1 está na reta , ou seja, .
Substituindo na expressão do limite:

Passo 6

Vamos substituir diretamente 1x - 3y + 1 = 13b - 3b + 1 = 11 = 1 e na função simplificada:

Resposta

O limite da função quando se aproxima de qualquer ponto na reta é 1.

Exercícios relacionados

Considere a função g(x, y) = (x - 3y) / (x^2 - 6xy + 9y^2 + x - 3y).
Determine, se existir, o valor de g(3, 1) para que a função g seja contínua no ponto 3,1.
Considere a função g(x, y) = (x - 3y) / (x^2 - 6xy + 9y^2 + x - 3y).
Descreva e represente geometricamente o domínio de g(x, y).
Escreva as funções abaixo na forma de funções composta e encontre as derivadas parciais em relação a x e y.
z = ln(raiz(x^2 * e^(2 * y) + x^2 * e^(-2 * y)))
Escreva as funções abaixo na forma de funções composta e encontre as derivadas parciais em relação a x e y.
z = ln((e^(x+y^2))^2 + x^2 + y)