Escreva as funções abaixo na forma de funções composta e encontre as derivadas parciais em relação a x e y.
z = ln(raiz(x^2 * e^(2 * y) + x^2 * e^(-2 * y)))

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa trabalhar com funções compostas e derivadas parciais. Basicamente, vamos reescrever a função dada como uma composição de outras funções mais simples e, em seguida, calcular as derivadas de em relação a e . Para isso, vamos usar a regra da cadeia, que é super importante para derivar funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função que temos:
Podemos simplificar essa expressão para facilitar os cálculos. Sabemos que , então:
Usando a propriedade dos logaritmos , temos:

Passo 3

Agora, vamos escrever como uma composição de funções. Vamos definir algumas funções intermediárias:
  • Seja
  • Então,
Agora, temos como uma composição de e em termos de e .

Passo 4

Vamos encontrar a derivada parcial de em relação a . Usando a regra da cadeia:
Primeiro, vamos calcular :
Substituindo de volta:
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a . Novamente, aplicamos a regra da cadeia:
Primeiro, calculamos :
Substituindo de volta:
Simplificando:

Resposta

As derivadas parciais são:

Exercícios relacionados

Considere a função g(x, y)=x-3 yx^2-6 x y+9 y^2+x-3 y.
Determine o limite: lim (x, y) (a, b) g(x, y) com (a, b) sendo um ponto da reta x-3 y=0.
Considere a função g(x, y) = (x - 3y) / (x^2 - 6xy + 9y^2 + x - 3y).
Determine, se existir, o valor de g(3, 1) para que a função g seja contínua no ponto 3,1.
Escreva as funções abaixo na forma de funções composta e encontre as derivadas parciais em relação a x e y.
z = ln((e^(x+y^2))^2 + x^2 + y)
Escreva as funções abaixo na forma de funções composta e encontre as derivadas parciais em relação a x e y.
z = x^2 cos^2(y) + 2 x^2 sen(y) cos(y) + x^2 sen^2(y)