Escreva as funções abaixo na forma de funções composta e encontre as derivadas parciais em relação a
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa trabalhar com funções compostas e derivadas parciais. Basicamente, vamos reescrever a função dada como uma composição de outras funções mais simples e, em seguida, calcular as derivadas de
em relação a
e
. Para isso, vamos usar a regra da cadeia, que é super importante para derivar funções compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função que temos:
Podemos simplificar essa expressão para facilitar os cálculos. Sabemos que
, então:
Usando a propriedade dos logaritmos
, temos:
Passo 3
Agora, vamos escrever
como uma composição de funções. Vamos definir algumas funções intermediárias:
- Seja
- Então,
Agora, temos
como uma composição de
e
em termos de
e
.
Passo 4
Vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
. Usando a regra da cadeia:
Primeiro, vamos calcular
:
Substituindo de volta:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
. Novamente, aplicamos a regra da cadeia:
Primeiro, calculamos
:
Substituindo de volta:
Simplificando:
Resposta
As derivadas parciais são:
Exercícios relacionados
Considere a função
.
Determine o limite: com
sendo um ponto da reta
.
Determine o limite:
Considere a função
.
Determine, se existir, o valor de para que a função
seja contínua no ponto
.
Determine, se existir, o valor de
Escreva as funções abaixo na forma de funções composta e encontre as derivadas parciais em relação a
e
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Escreva as funções abaixo na forma de funções composta e encontre as derivadas parciais em relação a
e
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