Por transformação dos eixos coordenados, representar a equação seguinte noutra que não tenha os termos do grau : x^2 - 4y^2 + 6x + 8y + 1 = 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que envolve transformação dos eixos coordenados. A gente tem que pegar a equação e transformá-la de modo que não tenha mais os termos de primeiro grau, ou seja, os termos com e sozinhos. Para isso, vamos precisar usar o método de completar o quadrado, que ajuda a reorganizar a equação e eliminar esses termos lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação agrupando os termos de e de juntos:

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para os termos de . Pegamos os coeficientes da parte de :
Para completar o quadrado, adicionamos e subtraímos :

Passo 4

Fazemos o mesmo para os termos de . Primeiro, fatoramos o coeficiente de :
Agora, completamos o quadrado dentro dos parênteses:
Adicionamos e subtraímos :
Então:

Passo 5

Agora, substituímos as expressões completadas na equação original:

Passo 6

Vamos simplificar os termos constantes:
Então, a equação fica:
Adicionando 4 dos dois lados:

Passo 7

Por fim, dividimos toda a equação por 4 para simplificar:
Essa é a equação desejada sem os termos de primeiro grau.

Resposta

A equação transformada é:

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