Considere a função
. Então
e
(d) Encontre os pontos de máximo, mínimo e de inflexão, caso existam.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os pontos de máximo, mínimo e pontos de inflexão da função
. A gente vai precisar usar derivadas primeira e segunda para identificar esses pontos. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, para encontrar os pontos críticos (onde podem existir máximos ou mínimos), vamos usar a primeira derivada
. Pontos críticos acontecem onde
ou onde a derivada não existe.
Passo 3
Vamos resolver
:
Isso ocorre quando o numerador é zero, ou seja,
.
Passo 4
Agora, verificamos se a derivada não existe. O denominador
quando
. Mas nesses pontos, a função original também não está definida, então não consideramos como pontos críticos para máximos ou mínimos.
Passo 5
Temos então um único ponto crítico em
. Para saber se é máximo ou mínimo, usamos a segunda derivada
.
Passo 6
Vamos avaliar a segunda derivada em
:
Como
, isso indica que temos um mínimo em
.
Passo 7
Agora, para encontrar os pontos de inflexão, procuramos onde a segunda derivada muda de sinal, ou seja, onde
ou não existe.
Passo 8
Vamos resolver
:
Isso ocorre quando o numerador é zero:
. Mas
não tem solução real porque
sempre é positivo e
nunca será zero.
Passo 9
Também verificamos onde a segunda derivada não existe, ou seja, onde
. Porém, nesses pontos, a função original também não está definida, então não há pontos de inflexão.
Resposta
A função
possui um ponto de mínimo em
e não possui pontos de máximo nem pontos de inflexão.
Exercícios relacionados
Considere a função
. Então
e
(b) Encontre as raízes da função e o ponto de interseção com o eixo
.
Determinar a equação polar da recta
.
Determine os pontos críticos das seguintes funções:
(a) .
(b)
© .
(a)
(b)
©
Considere a função
. (a) Calcule
.