Considere a função f(x) = (2 - x^2) / (x^2 - 4). Então f'(x) = 4x / (x^2 - 4)^2 e f''(x) = -4(3x^2 + 4) / (x^2 - 4)^3 (d) Encontre os pontos de máximo, mínimo e de inflexão, caso existam.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os pontos de máximo, mínimo e pontos de inflexão da função . A gente vai precisar usar derivadas primeira e segunda para identificar esses pontos. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, para encontrar os pontos críticos (onde podem existir máximos ou mínimos), vamos usar a primeira derivada . Pontos críticos acontecem onde ou onde a derivada não existe.

Passo 3

Vamos resolver :
Isso ocorre quando o numerador é zero, ou seja, .

Passo 4

Agora, verificamos se a derivada não existe. O denominador quando . Mas nesses pontos, a função original também não está definida, então não consideramos como pontos críticos para máximos ou mínimos.

Passo 5

Temos então um único ponto crítico em . Para saber se é máximo ou mínimo, usamos a segunda derivada .

Passo 6

Vamos avaliar a segunda derivada em :
Como , isso indica que temos um mínimo em .

Passo 7

Agora, para encontrar os pontos de inflexão, procuramos onde a segunda derivada muda de sinal, ou seja, onde ou não existe.

Passo 8

Vamos resolver :
Isso ocorre quando o numerador é zero: . Mas não tem solução real porque sempre é positivo e nunca será zero.

Passo 9

Também verificamos onde a segunda derivada não existe, ou seja, onde . Porém, nesses pontos, a função original também não está definida, então não há pontos de inflexão.

Resposta

A função possui um ponto de mínimo em e não possui pontos de máximo nem pontos de inflexão.

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