Considere a função f(x) = raiz(x^3 - x^2 + 1). (a) Calcule f'(x).

Passo 1

Então, a gente tem a função e precisamos encontrar a sua derivada, que é . Para resolver isso, vamos usar o conceito de derivadas, mais especificamente a regra da cadeia, que é útil para derivar funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a derivação. A raiz quadrada pode ser expressa como uma potência fracionária:

Passo 3

Agora, para derivar , onde , vamos aplicar a regra da cadeia. Essa regra diz que a derivada de uma função composta é a derivada da função externa multiplicada pela derivada da função interna.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia:
  1. Derivamos a função externa em relação a :
  1. Derivamos a função interna em relação a :

Passo 5

Multiplicando as duas derivadas conforme a regra da cadeia:

Passo 6

Para deixar a expressão mais clara, podemos reescrever como :

Resposta

Exercícios relacionados

Determine os pontos críticos das seguintes funções:
(a) f(x) = x + 1/x, x != 0.
(b) f(x) = x / (1 + x^2)
© f(x) = 3x^2 - 2x^3.
Considere a função f(x) = (2 - x^2) / (x^2 - 4). Então f'(x) = 4x / (x^2 - 4)^2 e f''(x) = -4(3x^2 + 4) / (x^2 - 4)^3 (d) Encontre os pontos de máximo, mínimo e de inflexão, caso existam.
Encontre o número c, como no Teorema do Valor Médio, para cada uma das seguintes funções:
(a) f(x) = x^3, 1 <= x <= 3.
(b) f(x) = x^2 + 5x, 0 <= x <= 2.
© f(x)=(x-1)^3, -1 <= x <= 2.
(d) f(x) = (x - 1) / (x + 1), 0 <= x <= 3.
(e) f(x) = raiz(25 - x^2), -3 <= x <= 4.
Dada a função f(x, y) = x^2 + y^2 - 6x + 8y. Determinar a expressão desta função em relação ao sistema de coordenadas cuja origem está no ponto 3,-4 mantendo-se o sentido dos eixos.