Considere a função f: [-2, 3] -> R dada por f(x) = 2*x^3 - 3*x^2 - 12*x + 1.
(b) Encontre os pontos críticos de f(x), isto é, os pontos do domínio de f(x) nos quais f'(x) = 0 ou onde não existe f'(x).

Passo 1

Vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar os pontos críticos da função no intervalo . Isso envolve calcular a derivada da função e identificar onde ela é igual a zero ou onde não existe. Para resolver, vamos precisar usar conceitos de cálculo derivativo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada de . A derivada nos mostra a taxa de variação da função em cada ponto. Para uma função polinomial, a derivada é obtida aplicando a regra do poder, que diz que se , então .

Passo 3

Aplicando a regra do poder à nossa função:
Derivando cada termo:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar onde ou onde não existe. No caso de funções polinomiais como a nossa, a derivada existe para todos os valores de , então só precisamos resolver:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 6:

Passo 5

Para resolver a equação quadrática , podemos fatorar ou usar a f��rmula de Bhaskara. Vamos fatorar:
Então, as soluções são:
Ambos os valores, e , estão dentro do intervalo .

Resposta

Os pontos críticos de no intervalo são e .

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