O tamanho de uma população de peixes pode ser modelado pela fórmula
onde
é o tamanho da população de peixes depois de
anos e
e
são constantes positivas que dependem da espécie e do seu hábitat. Suponha que a população no ano 0 seja
.
Mostre que
Mostre que
Passo 1
Vamos começar resumindo o que o problema nos diz. Temos um modelo que descreve o tamanho da população de peixes ao longo dos anos, dado por:
Aqui,
é a população de peixes após
anos, e
e
são constantes positivas que dependem da espécie e do habitat. Nosso objetivo é mostrar que:
Para resolver isso, vamos usar conceitos de desigualdades e manipulação algébrica básica.
Passo 2
Vamos começar observando a fórmula dada:
Queremos comparar
com
.
Passo 3
Primeiro, notamos que tanto
quanto
são positivos, já que
é uma constante positiva e
(conforme o enunciado). Portanto, o denominador
é maior que
:
Passo 4
Quando o denominador de uma fração aumenta, o valor da fração diminui, mantendo o numerador constante. Aplicando isso à nossa expressão para
:
Passo 5
Agora, simplificamos a expressão da direita:
Portanto, temos:
Resposta
Concluímos que
.