O tamanho de uma população de peixes pode ser modelado pela fórmula
p_{n+1} = b * p_{n} / (a + p_{n})
onde pn é o tamanho da população de peixes depois de n anos e a e b são constantes positivas que dependem da espécie e do seu hábitat. Suponha que a população no ano 0 seja p0 > 0.
Mostre que p_{n+1} < (b / a) p_{n}

Passo 1

Vamos começar resumindo o que o problema nos diz. Temos um modelo que descreve o tamanho da população de peixes ao longo dos anos, dado por:
Aqui, é a população de peixes após anos, e e são constantes positivas que dependem da espécie e do habitat. Nosso objetivo é mostrar que:
Para resolver isso, vamos usar conceitos de desigualdades e manipulação algébrica básica.

Passo 2

Vamos começar observando a fórmula dada:
Queremos comparar com .

Passo 3

Primeiro, notamos que tanto quanto são positivos, já que é uma constante positiva e (conforme o enunciado). Portanto, o denominador é maior que :

Passo 4

Quando o denominador de uma fração aumenta, o valor da fração diminui, mantendo o numerador constante. Aplicando isso à nossa expressão para :

Passo 5

Agora, simplificamos a expressão da direita:
Portanto, temos:

Resposta

Concluímos que .

Exercícios relacionados