Mostre que se
for um conjunto aberto e se
for uma cisão, então,
e
são conjuntos abertos.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que, se
é um conjunto aberto e
é uma cisão (ou seja,
e
não se sobrepõem), então tanto
quanto
são conjuntos abertos. Vamos usar conceitos de topologia, especificamente sobre conjuntos abertos na reta real.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um conjunto aberto. Na reta real, um conjunto é aberto se, para cada ponto nesse conjunto, dá para encontrar um pequeno intervalo ao redor desse ponto que ainda está totalmente dentro do conjunto. Então, se
é aberto, isso significa que para qualquer ponto em
, tem um espacinho ao redor dele que também está em
.
Passo 3
Agora, como
e
e
não se cruzam (já que é uma cisão), qualquer ponto em
está só em
e qualquer ponto em
está só em
. Vamos pegar um ponto qualquer, digamos
, em
. Como
é aberto, existe um intervalo em torno de
que está todo dentro de
.
Passo 4
Esse intervalo em torno de
está dentro de
, que é a união de
e
. Mas
está em
, então parte desse intervalo tem que estar em
(porque
e
não têm pontos em comum). Isso significa que existe um intervalo ao redor de
que está totalmente dentro de
.
Passo 5
O mesmo raciocínio vale para qualquer ponto em
. Ou seja, para cada ponto em
, existe um intervalo ao redor dele que está totalmente dentro de
.
Resposta
Assim, mostramos que tanto
quanto
são conjuntos abertos dentro de
.