Mostre que se X ⊆ R for um conjunto aberto e se X = A ∪ B for uma cisão, então, A e B são conjuntos abertos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que, se é um conjunto aberto e é uma cisão (ou seja, e não se sobrepõem), então tanto quanto são conjuntos abertos. Vamos usar conceitos de topologia, especificamente sobre conjuntos abertos na reta real.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um conjunto aberto. Na reta real, um conjunto é aberto se, para cada ponto nesse conjunto, dá para encontrar um pequeno intervalo ao redor desse ponto que ainda está totalmente dentro do conjunto. Então, se é aberto, isso significa que para qualquer ponto em , tem um espacinho ao redor dele que também está em .

Passo 3

Agora, como e e não se cruzam (já que é uma cisão), qualquer ponto em está só em e qualquer ponto em está só em . Vamos pegar um ponto qualquer, digamos , em . Como é aberto, existe um intervalo em torno de que está todo dentro de .

Passo 4

Esse intervalo em torno de está dentro de , que é a união de e . Mas está em , então parte desse intervalo tem que estar em (porque e não têm pontos em comum). Isso significa que existe um intervalo ao redor de que está totalmente dentro de .

Passo 5

O mesmo raciocínio vale para qualquer ponto em . Ou seja, para cada ponto em , existe um intervalo ao redor dele que está totalmente dentro de .

Resposta

Assim, mostramos que tanto quanto são conjuntos abertos dentro de .

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