Considere a função
h(x)=l (x^3+4 x^2+4 xx^2-3 x-10) sen(12+x), se x neq-2 L, se x=-2
em que L é um número real.
Para qual ou quais valores de L a função h(x) é contínua? Justifique.

Passo 1

Ok, vamos lá! A gente tem uma função definida de duas maneiras diferentes: uma para todo valor de diferente de -2 e outra quando . O objetivo é descobrir qual valor de faz a função ser contínua em .
Aqui, vamos usar o conteúdo de continuidade de funções, que basicamente diz que uma função é contínua em um ponto se o limite da função nesse ponto for igual ao valor da função nesse ponto. Então, precisamos calcular o limite de quando se aproxima de -2 e igualar esse limite a .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a função para h(x) = ( x^3 + 4x^2 + 4xx^2 - 3x - 10 ) sin( 12 + x ) :
limx to -2 h(x) = L
Nossa meta é encontrar:

Passo 3

Vamos analisar o limite de cada parte da função separadamente. Primeiro, olhemos para a fração:
x^3 + 4x^2 + 4xx^2 - 3x - 10
Podemos tentar fatorar o numerador e o denominador para simplificar.
Numerador: x(x + 2)^2(x - 5)(x + 2) = x(x + 2)x - 5
Denominador:
Então, a fração fica:

Passo 4

Agora, substituímos de volta na função original:
h(x) = x(x + 2)x - 5 cdot sin( 12 + x )
Queremos calcular o limite quando limx to -2 x(x + 2)x - 5 cdot sin( 12 + x ) se aproxima de -2:

Passo 5

Observamos que x(x + 2)x - 5 = x cdot (x + 2)x - 5 no numerador e 12 + x = 1x + 2 dentro do seno vão se aproximar de 0 quando se aproxima de -2. Vamos simplificar a expressão:
E o argumento do seno:
À medida que se aproxima de -2, se aproxima de 0, então tende ao infinito. No entanto, sabemos que o seno de um valor que tende ao infinito oscila entre -1 e 1.

Passo 6

Vamos agora reescrever o limite considerando essas observações:
limx to -2 x(x + 2)x - 5 cdot sin( 1x + 2 )
Sabemos que -1 <= sin( 1x + 2 ) <= 1 está sempre entre -1 e 1, então:
- x(x + 2)x - 5 <= x(x + 2)x - 5 cdot sin( 1x + 2 ) <= x(x + 2)x - 5
Multiplicando todos os termos por , que tende a quando se aproxima de -2, temos:
Como ambos os limites laterais tendem a 0, pelo Teorema do Confronto (Sandwich Theorem), o limite da função também tende a 0.

Resposta

O valor de que torna a função contínua é .

Exercícios relacionados