Considere a função
em que
é um número real.
Para qual ou quais valores de
a função
é contínua? Justifique.
Para qual ou quais valores de
Passo 1
Ok, vamos lá! A gente tem uma função
definida de duas maneiras diferentes: uma para todo valor de
diferente de -2 e outra quando
. O objetivo é descobrir qual valor de
faz a função ser contínua em
.
Aqui, vamos usar o conteúdo de continuidade de funções, que basicamente diz que uma função é contínua em um ponto se o limite da função nesse ponto for igual ao valor da função nesse ponto. Então, precisamos calcular o limite de
quando
se aproxima de -2 e igualar esse limite a
.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a função para
:
Nossa meta é encontrar:
Passo 3
Vamos analisar o limite de cada parte da função separadamente. Primeiro, olhemos para a fração:
Podemos tentar fatorar o numerador e o denominador para simplificar.
Numerador:
Denominador:
Então, a fração fica:
Passo 4
Agora, substituímos de volta na função original:
Queremos calcular o limite quando
se aproxima de -2:
Passo 5
Observamos que
no numerador e
dentro do seno vão se aproximar de 0 quando
se aproxima de -2. Vamos simplificar a expressão:
E o argumento do seno:
À medida que
se aproxima de -2,
se aproxima de 0, então
tende ao infinito. No entanto, sabemos que o seno de um valor que tende ao infinito oscila entre -1 e 1.
Passo 6
Vamos agora reescrever o limite considerando essas observações:
Sabemos que
está sempre entre -1 e 1, então:
Multiplicando todos os termos por
, que tende a
quando
se aproxima de -2, temos:
Como ambos os limites laterais tendem a 0, pelo Teorema do Confronto (Sandwich Theorem), o limite da função também tende a 0.
Resposta
O valor de
que torna a função
contínua é
.