Suponha que o raio
e a área
de um círculo sejam funções deriváveis de
. Escreva uma equação que relacione
.
Resposta:
Resposta:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos um círculo cujo raio
e área
são funções que dependem do tempo
. Nosso objetivo é encontrar uma relação entre a taxa de variação da área em relação ao tempo,
, e a taxa de variação do raio em relação ao tempo,
. Para isso, vamos precisar usar o conceito de derivadas e a regra da cadeia da diferenciação.
Passo 2
Vamos começar diferenciando a fórmula da área
em relação ao tempo
. Isso significa que queremos encontrar
.
Para fazer isso, aplicamos a derivada em ambos os lados da equação:
Passo 3
Agora, aplicamos a regra da cadeia na derivação do lado direito. A constante
permanece, e derivamos
em relação a
:
Passo 4
Derivando
, usamos a regra do poder, que nos diz que a derivada de
em relação a
é
. Neste caso,
:
Passo 5
Substituímos essa derivada de volta na equação original:
Simplificando, temos:
Resposta
A relação entre
e
é:
Exercícios relacionados
O raio
e a altura
de um cilindro circular estão relacionados com o volume
do cilindro pela fórmula
.
b) Como está relacionada a
se nem
nem
são constantes.
Resposta:
b) Como
Resposta:
Determine as seguintes derivadas
i)
Resposta:
i)
Resposta:
Simplifique
sendo dados:
l)
l)
Considere a função
em que
é um número real.
Para qual ou quais valores de a função
é contínua? Justifique.
Para qual ou quais valores de