Suponha que o raio r e a área A = pi r^2 de um círculo sejam funções deriváveis de t. Escreva uma equação que relacione dA/dt a dr/dt.
Resposta: dA/dt = 2 pi r dr/dt

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos um círculo cujo raio e área são funções que dependem do tempo . Nosso objetivo é encontrar uma relação entre a taxa de variação da área em relação ao tempo, , e a taxa de variação do raio em relação ao tempo, . Para isso, vamos precisar usar o conceito de derivadas e a regra da cadeia da diferenciação.

Passo 2

Vamos começar diferenciando a fórmula da área em relação ao tempo . Isso significa que queremos encontrar .
Para fazer isso, aplicamos a derivada em ambos os lados da equação:

Passo 3

Agora, aplicamos a regra da cadeia na derivação do lado direito. A constante permanece, e derivamos em relação a :

Passo 4

Derivando , usamos a regra do poder, que nos diz que a derivada de em relação a é . Neste caso, :

Passo 5

Substituímos essa derivada de volta na equação original:
Simplificando, temos:

Resposta

A relação entre e é:

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