Vamos utilizar o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que a equação 0 possui pelo menos uma raiz real.
Use o Teorema do Valor Intermediário para concluir que possui uma raiz no intervalo (se ) ou caso contrário.
Passo 1
Beleza! A gente vai usar o Teorema do Valor Intermediário pra mostrar que a equação tem pelo menos uma raiz real. Esse teorema é super útil pra garantir que, se a função é contínua em um intervalo e muda de sinal, então ela passa por zero em algum ponto desse intervalo. Vamos precisar entender sobre funções contínuas e como identificar esses pontos onde a função muda de sinal.
Passo 2
Primeiro, vamos definir a função que está na equação: . Nosso objetivo é encontrar um intervalo onde muda de sinal, ou seja, onde e têm sinais opostos. Isso mostrará que, entre e , a função deve passar por zero.
Passo 3
Vamos escolher dois valores de para calcular . Por exemplo, vamos tentar e .
Primeiro, calculamos :
Então, .
Passo 4
Agora, vamos calcular :
Então, .
Passo 5
Vimos que e . Ambos são positivos, então não há mudança de sinal nesse intervalo. Vamos tentar outro intervalo. Vamos escolher e .
Primeiro, calculamos :
Então, .
Passo 6
Agora, calculamos novamente, que já sabemos ser 1. Ambos os valores, e , são positivos. Ainda não encontramos uma mudança de sinal. Vamos tentar .
Calculamos :
Então, . Ainda positivo. Vamos mudar de estratégia e tentar valores negativos maiores.
Passo 7
Vamos tentar .
Calculamos :
Então, . Ainda positivo. Parece que precisamos tentar um valor ainda menor.
Passo 8
Vamos tentar .
Calculamos :
Então, . Ainda positivo, mas bem próximo de zero. Vamos tentar .
Passo 9
Calculamos :
Então, . Ainda positivo. Parece que a função não muda de sinal nesse intervalo.
Passo 10
Percebemos que permanece positiva em todos os pontos que testamos. Isso indica que, com os valores escolhidos, não conseguimos aplicar o Teorema do Valor Intermediário para garantir a existência de uma raiz. Portanto, precisamos reconsiderar nossa abordagem ou verificar se há algum erro nos cálculos anteriores.
Resposta
Após analisar diferentes intervalos, não encontramos uma mudança de sinal para aplicar o Teorema do Valor Intermediário e, portanto, não podemos concluir garantidamente que possui uma raiz real nesse contexto.