Considere a função
h(x)=l (x^3+4 x^2+4 xx^2-3 x-10) sen(12+x), se x neq-2 L, se x=-2
em que L é um número real.
Estude o sinal de x^3+4 x^2+4 xx^2-3 x-10 (simplifique primeiro a expressão).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente estudar o sinal da função racional . Isso faz parte do conteúdo de funções racionais, onde a gente precisa simplificar a expressão para entender onde ela é positiva ou negativa. Vamos precisar fatorar tanto o numerador quanto o denominador para achar os pontos onde a função muda de sinal.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão fatorando o numerador e o denominador.
Numerador: x^3 + 4x^2 + 4x = x(x^2 + 4x + 4)
Podemos fatorar um x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2 em comum:
x(x + 2)^2
Agora, o trinômio x^2 -3x -10 = (x - 5)(x + 2) é um quadrado perfeito:
x(x + 2)^2(x - 5)(x + 2)
Então, o numerador fica:
x(x + 2)x - 5
Denominador:
Vamos fatorar esse trinômio. Procuramos dois números que multiplicam e somam . São e :
Agora, nossa função simplificada é:
Podemos cancelar um do numerador e denominador:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os valores que fazem o numerador ou denominador ser zero, pois são os pontos onde a função pode mudar de sinal.
Numerador: x = 0 ou x = -2
x = 5
Denominador:
Então, os pontos críticos são , e .

Passo 4

Vamos construir uma tabela de sinais usando os pontos críticos para dividir a reta real em intervalos:
Agora, analisamos o sinal de cada fator em cada intervalo.
Fatores:
Intervalo
- - -
- + -
+ + -
+ + +

Resposta

A função é:
  • Negativa quando
  • Positiva quando
  • Negativa quando
  • Positiva quando

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