Considere a função
em que
é um número real.
Estude o sinal de
(simplifique primeiro a expressão).
Estude o sinal de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente estudar o sinal da função racional
. Isso faz parte do conteúdo de funções racionais, onde a gente precisa simplificar a expressão para entender onde ela é positiva ou negativa. Vamos precisar fatorar tanto o numerador quanto o denominador para achar os pontos onde a função muda de sinal.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão fatorando o numerador e o denominador.
Numerador:
Podemos fatorar um
em comum:
Agora, o trinômio
é um quadrado perfeito:
Então, o numerador fica:
Denominador:
Vamos fatorar esse trinômio. Procuramos dois números que multiplicam
e somam
. São
e
:
Agora, nossa função simplificada é:
Podemos cancelar um
do numerador e denominador:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os valores que fazem o numerador ou denominador ser zero, pois são os pontos onde a função pode mudar de sinal.
Numerador:
Denominador:
Então, os pontos críticos são
,
e
.
Passo 4
Vamos construir uma tabela de sinais usando os pontos críticos para dividir a reta real em intervalos:
Agora, analisamos o sinal de cada fator em cada intervalo.
Fatores:
Intervalo |
|
|
|
|
---|---|---|---|---|
|
- | - | - |
|
|
- | + | - |
|
|
+ | + | - |
|
|
+ | + | + |
|
Resposta
A função
é:
- Negativa quando
- Positiva quando
- Negativa quando
- Positiva quando