Considere a função:
f(x, y) = x^3 * e^(2x) + (y^3 / 4) * e^x - 5 * x * y^2
B) determine a linearização L(x, y) de f em ( 0,1 ) e calcule o valor de L(0.05, 0.95). Explique porque o valor calculado é uma boa aproximação do valor do valor de f (0.05 ; 0.95).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para determinar a linearização da função no ponto e calcular . Para isso, vamos precisar entender sobre linearização de funções de duas variáveis, que é uma aproximação linear da função perto de um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a linearização de uma função no ponto . A linearização é dada por:
onde e são as derivadas parciais de em relação a e , respectivamente.

Passo 3

Vamos calcular :

Passo 4

Agora, vamos encontrar as derivadas parciais e :
Primeiro, :
Em seguida, :

Passo 5

Vamos calcular e :
Para :
Para :

Passo 6

Agora que temos , e , podemos montar a linearização :

Passo 7

Vamos simplificar a expressão de :

Passo 8

Agora, vamos calcular substituindo os valores na expressão da linearização:

Resposta

A linearização de em é:
E o valor de é aproximadamente . Esse valor é uma boa aproximação de porque a linearização utiliza a tangente da função no ponto , capturando o comportamento local da função perto desse ponto, tornando a aproximação bastante precisa para pontos próximos.

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