Considere a função:
B) determine a linearização
de f em ( 0,1 ) e calcule o valor de
. Explique porque o valor calculado é uma boa aproximação do valor do valor de f
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para determinar a linearização da função
no ponto
e calcular
. Para isso, vamos precisar entender sobre linearização de funções de duas variáveis, que é uma aproximação linear da função perto de um ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a linearização
de uma função
no ponto
. A linearização é dada por:
onde
e
são as derivadas parciais de
em relação a
e
, respectivamente.
Passo 3
Vamos calcular
:
Passo 4
Agora, vamos encontrar as derivadas parciais
e
:
Primeiro,
:
Em seguida,
:
Passo 5
Vamos calcular
e
:
Para
:
Para
:
Passo 6
Agora que temos
,
e
, podemos montar a linearização
:
Passo 7
Vamos simplificar a expressão de
:
Passo 8
Agora, vamos calcular
substituindo os valores na expressão da linearização:
Resposta
A linearização
de
em
é:
E o valor de
é aproximadamente
. Esse valor é uma boa aproximação de
porque a linearização utiliza a tangente da função no ponto
, capturando o comportamento local da função perto desse ponto, tornando a aproximação bastante precisa para pontos próximos.
Exercícios relacionados
Considere a função:
A) determine o valor de taxa de variação máxima de f em
na direção do vetor
.
A equação
. Defina
implicitamente em função de
e y e determine
A) Use o teste da derivada segunda para classificar os pontos críticos de:
considere
B) determine as derivadas parciais de ordem 2 de
B) determine as derivadas parciais de ordem 2 de