A equação pode ser reescrita como de diversas formas diferentes para aplicação do método do ponto fixo (iterações lineares). Determine analiticamente a região de convergência para as raízes e e faça os gráficos de convergência superposto à reta para os seguintes casos:
a)
b)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem a equação quadrática e queremos reescrevê-la na forma de diferentes jeitos para usar o método do ponto fixo, que é uma técnica de iteração para encontrar raízes. Precisamos descobrir em quais regiões esse método vai convergir para as raízes e , e também fazer os gráficos das funções sobrepostos à reta para os casos:
a)
b)
Para resolver isso, vamos precisar entender como o método do ponto fixo funciona, especialmente as condições para que as iterações convirjam para uma solução.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como reescrever uma equação na forma . Isso significa isolar o em um dos lados da equação original. No nosso caso:
A equação original é . Vamos resolver para :
Mas, isso não simplifica muito. Outra forma possível é simplesmente isolar :
Entretanto, para o método do ponto fixo, precisamos de uma forma mais apropriada de .

Passo 3

Agora, vamos analisar cada caso proposto no exercício.

Caso a)

Aqui, . Parece que há uma referência a , que normalmente indicaria o termo na posição da sequência. Porém, para simplificar, vamos considerar que talvez o enunciado quis dizer . Assim, teríamos:
Para que o método do ponto fixo convirja, a derivada de em torno da raiz deve ter módulo menor que 1:
Como , o método vai convirger para qualquer ponto inicial próximo das raízes.

Caso b)

Aqui, .
Vamos calcular a derivada:
O módulo da derivada é , que é maior que 1. Isso significa que o método do ponto fixo não vai convirgir, ou seja, as iterações não vão se aproximar das raízes, a menos que o ponto inicial seja exatamente a raiz.

Passo 4

Agora, vamos determinar as regiões de convergência para as raízes e em cada caso.

Caso a)

Como vimos que , o método vai convirger para as raízes e se o ponto inicial estiver suficientemente próximo delas. Ou seja, se começarmos com um próximo de 1 ou de 2, as iterações vão se aproximar dessas raízes.

Caso b)

Aqui, como , o método não vai convirger, a menos que o ponto inicial seja exatamente a raiz. Isso porque, caso contrário, as iterações vão divergir, ou seja, se afastar das raízes.

Passo 5

Por fim, sobre os gráficos de convergência sobrepostos à reta :

Caso a)

Para , o gráfico será uma linha reta com inclinação interceptando o eixo y em . A interseção com ocorre nas raízes e .

Caso b)

Para , o gráfico é uma linha reta com inclinação 3, interceptando o eixo y em -2. A interseção com também ocorre nas raízes e , mas, como a inclinação é maior que 1, as iterações não vão se aproximar, a não ser que comecem exatamente nessas raízes.

Resposta

Concluímos que:
a) Para , o método do ponto fixo convirge para as raízes e quando o ponto inicial está próximo a elas, pois .
b) Para , o método do ponto fixo não convirge para as raízes e a não ser que a iteração comece exatamente nessas raízes, já que .

Exercícios relacionados

Considere a função .
a) Mostre que a equação possui apenas uma solução positiva.
b) Deseja-se calcular tal que por um método do ponto fixo Qual das funções
é a mais adequada para esse fim? Justifique com base na análise de convergência para cada caso.
c) Para a função escolhida, calcule 5 iterações partindo do ponto .
d) Para e para a função escolhida, determine o número de iterações necessárias (sem fazer as iterações) para calcular com precisão de .
Considere a função . Temos que e e, portanto, possui uma raiz no intervalo . Podemos escrever a equação de duas maneiras distintas:
Para resolver a equação pelo método do ponto fixo, consideramos, portanto, as funções de iteração: e . Escolha, em cada caso, tal que o método do ponto fixo converge para a raiz de em . Para qual função, dentre e , é esperada a convergência mais rápida?
Seja a função definida por .
a) Mostre que é um ponto fixo de .
b) Estime o máximo valor absoluto da derivada no intervalo e conclua que é uma contração nesse intervalo.
c) Conclua que se a sequência definida converge para .
Deseja-se resolver a equação pelo método do ponto fixo, utilizando e a seguinte função de iteração
a) Mostre que a equação em questão possui uma única raiz no intervalo e que é ponto fixo de .
b) Calcule 10 iterações, partindo-se de .
c) Mostre que e conclua que NÃO é uma contração em qualquer intervalo que contenha a raiz .
d) Mostre que a derivada é crescente no intervalo e que, portanto, .
e) Utilizando o Teorema do valor médio , com entre e , conclua que, sempre que e , então .
f) Seja e considere a sequência definida por . Mostre que, se e , então existe algum tal que . Conclua que, em geral, a sequência gerada por não é convergente e que essa função não é adequada para resolver a equação dada.