A equação pode ser reescrita como de diversas formas diferentes para aplicação do método do ponto fixo (iterações lineares). Determine analiticamente a região de convergência para as raízes e e faça os gráficos de convergência superposto à reta para os seguintes casos:
a)
b)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem a equação quadrática e queremos reescrevê-la na forma de diferentes jeitos para usar o método do ponto fixo, que é uma técnica de iteração para encontrar raízes. Precisamos descobrir em quais regiões esse método vai convergir para as raízes e , e também fazer os gráficos das funções sobrepostos à reta para os casos:
a)
b)
Para resolver isso, vamos precisar entender como o método do ponto fixo funciona, especialmente as condições para que as iterações convirjam para uma solução.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como reescrever uma equação na forma . Isso significa isolar o em um dos lados da equação original. No nosso caso:
A equação original é . Vamos resolver para :
Mas, isso não simplifica muito. Outra forma possível é simplesmente isolar :
Entretanto, para o método do ponto fixo, precisamos de uma forma mais apropriada de .
Passo 3
Agora, vamos analisar cada caso proposto no exercício.
Caso a)
Aqui, . Parece que há uma referência a , que normalmente indicaria o termo na posição da sequência. Porém, para simplificar, vamos considerar que talvez o enunciado quis dizer . Assim, teríamos:
Para que o método do ponto fixo convirja, a derivada de em torno da raiz deve ter módulo menor que 1:
Como , o método vai convirger para qualquer ponto inicial próximo das raízes.
Caso b)
Aqui, .
Vamos calcular a derivada:
O módulo da derivada é , que é maior que 1. Isso significa que o método do ponto fixo não vai convirgir, ou seja, as iterações não vão se aproximar das raízes, a menos que o ponto inicial seja exatamente a raiz.
Passo 4
Agora, vamos determinar as regiões de convergência para as raízes e em cada caso.
Caso a)
Como vimos que , o método vai convirger para as raízes e se o ponto inicial estiver suficientemente próximo delas. Ou seja, se começarmos com um próximo de 1 ou de 2, as iterações vão se aproximar dessas raízes.
Caso b)
Aqui, como , o método não vai convirger, a menos que o ponto inicial seja exatamente a raiz. Isso porque, caso contrário, as iterações vão divergir, ou seja, se afastar das raízes.
Passo 5
Por fim, sobre os gráficos de convergência sobrepostos à reta :
Caso a)
Para , o gráfico será uma linha reta com inclinação interceptando o eixo y em . A interseção com ocorre nas raízes e .
Caso b)
Para , o gráfico é uma linha reta com inclinação 3, interceptando o eixo y em -2. A interseção com também ocorre nas raízes e , mas, como a inclinação é maior que 1, as iterações não vão se aproximar, a não ser que comecem exatamente nessas raízes.
Resposta
Concluímos que:
a) Para , o método do ponto fixo convirge para as raízes e quando o ponto inicial está próximo a elas, pois .
b) Para , o método do ponto fixo não convirge para as raízes e a não ser que a iteração comece exatamente nessas raízes, já que .