A equação x^2 - 3 x + 2 = 0 pode ser reescrita como x = G(x) de diversas formas diferentes para aplicação do método do ponto fixo (iterações lineares). Determine analiticamente a região de convergência para as raízes x = 1 e x = 2 e faça os gráficos de convergência y = G(x) superposto à reta y = x para os seguintes casos:
a) x_n+1 = (x_{2n} + 2) / 3
b) x_{n+1} = 3 x_{n} - 2

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem a equação quadrática e queremos reescrevê-la na forma de diferentes jeitos para usar o método do ponto fixo, que é uma técnica de iteração para encontrar raízes. Precisamos descobrir em quais regiões esse método vai convergir para as raízes e , e também fazer os gráficos das funções sobrepostos à reta para os casos:
a)
b)
Para resolver isso, vamos precisar entender como o método do ponto fixo funciona, especialmente as condições para que as iterações convirjam para uma solução.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como reescrever uma equação na forma . Isso significa isolar o em um dos lados da equação original. No nosso caso:
A equação original é . Vamos resolver para :
Mas, isso não simplifica muito. Outra forma possível é simplesmente isolar :
Entretanto, para o método do ponto fixo, precisamos de uma forma mais apropriada de .

Passo 3

Agora, vamos analisar cada caso proposto no exercício.

Caso a)

Aqui, . Parece que há uma referência a , que normalmente indicaria o termo na posição da sequência. Porém, para simplificar, vamos considerar que talvez o enunciado quis dizer . Assim, teríamos:
Para que o método do ponto fixo convirja, a derivada de em torno da raiz deve ter módulo menor que 1:
Como , o método vai convirger para qualquer ponto inicial próximo das raízes.

Caso b)

Aqui, .
Vamos calcular a derivada:
O módulo da derivada é , que é maior que 1. Isso significa que o método do ponto fixo não vai convirgir, ou seja, as iterações não vão se aproximar das raízes, a menos que o ponto inicial seja exatamente a raiz.

Passo 4

Agora, vamos determinar as regiões de convergência para as raízes e em cada caso.

Caso a)

Como vimos que , o método vai convirger para as raízes e se o ponto inicial estiver suficientemente próximo delas. Ou seja, se começarmos com um próximo de 1 ou de 2, as iterações vão se aproximar dessas raízes.

Caso b)

Aqui, como , o método não vai convirger, a menos que o ponto inicial seja exatamente a raiz. Isso porque, caso contrário, as iterações vão divergir, ou seja, se afastar das raízes.

Passo 5

Por fim, sobre os gráficos de convergência sobrepostos à reta :

Caso a)

Para , o gráfico será uma linha reta com inclinação interceptando o eixo y em . A interseção com ocorre nas raízes e .

Caso b)

Para , o gráfico é uma linha reta com inclinação 3, interceptando o eixo y em -2. A interseção com também ocorre nas raízes e , mas, como a inclinação é maior que 1, as iterações não vão se aproximar, a não ser que comecem exatamente nessas raízes.

Resposta

Concluímos que:
a) Para , o método do ponto fixo convirge para as raízes e quando o ponto inicial está próximo a elas, pois .
b) Para , o método do ponto fixo não convirge para as raízes e a não ser que a iteração comece exatamente nessas raízes, já que .

Exercícios relacionados