Seja f(x) = cos(x). Encontre a série de Taylor de f em torno de a.

Passo 1

Beleza, o exercício nos pede para encontrar a série de Taylor da função em torno de um ponto . Para resolver isso, vamos usar o conceito de série de Taylor, que envolve calcular as derivadas da função no ponto .

Passo 2

A série de Taylor de uma função em torno de é dada por:
Isso significa que precisamos calcular as derivadas de avaliadas em .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de :
  • Primeira derivada:
  • Segunda derivada:
  • Terceira derivada:
  • Quarta derivada:
  • E assim por diante…
Observamos que as derivadas de repetem a cada 4 termos.

Passo 4

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto :
  • E assim por diante…
Percebemos que a sequência se repete a cada múltiplo de 4.

Passo 5

Substituindo essas derivadas na fórmula da série de Taylor:
Onde segue o padrão das derivadas que calculamos.

Resposta

A série de Taylor da função em torno de é:

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Considere a função f(x, y) = 4 x^3 + 6 x^2 y.
(b) Seja R_l = [0, l] x [0, 1]. Determine l > 0 de tal modo que o volume do sólido abaixo do gráfico de f e acima da região R_ℓ seja exatamente 1 .
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© É correto afirmar que o campo F(x, y) = (2 x + y, y - 1.000001 x) é conservativo? Justifique sua resposta.
Considere a função f(x, y)=4 x^3+6 x^2 y.
(a) Calcule integral duplaR f(x, y) d A onde R=[0,1] times[0,2].