Seja
. Encontre a série de Taylor de
em torno de
.
Passo 1
Beleza, o exercício nos pede para encontrar a série de Taylor da função
em torno de um ponto
. Para resolver isso, vamos usar o conceito de série de Taylor, que envolve calcular as derivadas da função no ponto
.
Passo 2
A série de Taylor de uma função
em torno de
é dada por:
Isso significa que precisamos calcular as derivadas de
avaliadas em
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de
:
- Primeira derivada:
- Segunda derivada:
- Terceira derivada:
- Quarta derivada:
- E assim por diante…
Observamos que as derivadas de
repetem a cada 4 termos.
Passo 4
Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto
:
-
-
-
-
-
- E assim por diante…
Percebemos que a sequência se repete a cada múltiplo de 4.
Passo 5
Substituindo essas derivadas na fórmula da série de Taylor:
Onde
segue o padrão das derivadas que calculamos.
Resposta
A série de Taylor da função
em torno de
é:
Exercícios relacionados
Considere a função
.
(b) Seja . Determine
de tal modo que o volume do sólido abaixo do gráfico de
e acima da região
seja exatamente 1 .
(b) Seja
(a) Defina campo conservativo e função potencial.
© É correto afirmar que o campo
é conservativo? Justifique sua resposta.
Considere a função
.
(a) Calcule onde
.
(a) Calcule