Seja f(x) = cos(x). Encontre a série de Taylor de f em torno de a.

Passo 1

Beleza, o exercício nos pede para encontrar a série de Taylor da função em torno de um ponto . Para resolver isso, vamos usar o conceito de série de Taylor, que envolve calcular as derivadas da função no ponto .

Passo 2

A série de Taylor de uma função em torno de é dada por:
Isso significa que precisamos calcular as derivadas de avaliadas em .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de :
  • Primeira derivada:
  • Segunda derivada:
  • Terceira derivada:
  • Quarta derivada:
  • E assim por diante…
Observamos que as derivadas de repetem a cada 4 termos.

Passo 4

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto :
  • E assim por diante…
Percebemos que a sequência se repete a cada múltiplo de 4.

Passo 5

Substituindo essas derivadas na fórmula da série de Taylor:
Onde segue o padrão das derivadas que calculamos.

Resposta

A série de Taylor da função em torno de é:

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