Considere a função f(x, y) = 4 x^3 + 6 x^2 y.
(b) Seja R_l = [0, l] x [0, 1]. Determine l > 0 de tal modo que o volume do sólido abaixo do gráfico de f e acima da região R_ℓ seja exatamente 1 .

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão envolve encontrar o valor de l que faz com que o volume do sólido abaixo da função e acima da região seja igual a 1. Para isso, vamos usar o conceito de integral dupla, que nos ajuda a calcular volumes sob superfícies.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que o volume que queremos calcular é dado pela integral dupla de f(x, y) sobre a região R_ℓ. Ou seja:

Passo 3

Vamos começar integrando a função f(x, y) em relação a y, mantendo x constante:
Integral de em relação a y é , e a integral de é . Avaliando de 0 a 1:

Passo 4

Agora, vamos integrar o resultado em relação a x, de 0 a l:
Integrando cada termo:
  • Integral de é x^4.
  • Integral de é x^3.
Então:
Substituindo l e 0:

Passo 5

Sabemos que esse volume deve ser igual a 1. Então, igualamos a expressão a 1:
Precisamos resolver essa equação para l.

Passo 6

Vamos tentar resolver a equação . Podemos reescrever como:
Isso é uma equação polinomial de quarto grau. Tentaremos encontrar uma solução real positiva.

Passo 7

Vamos testar alguns valores para encontrar uma aproximação de l:
  • Se :
  • Se :
  • Se :
  • Se :
Vemos que l está entre 0.8 e 0.85.

Passo 8

Para uma aproximação melhor, vamos tentar :
Está muito próximo de 1!

Passo 9

Portanto, o valor de l que satisfaz a condição dada é aproximadamente .

Resposta

O valor de l que torna o volume igual a 1 é aproximadamente .

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