Considere a função
.
(b) Seja
. Determine
de tal modo que o volume do sólido abaixo do gráfico de
e acima da região
seja exatamente 1 .
(b) Seja
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão envolve encontrar o valor de
que faz com que o volume do sólido abaixo da função
e acima da região
seja igual a 1. Para isso, vamos usar o conceito de integral dupla, que nos ajuda a calcular volumes sob superfícies.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que o volume que queremos calcular é dado pela integral dupla de
sobre a região
. Ou seja:
Passo 3
Vamos começar integrando a função
em relação a
, mantendo
constante:
Integral de
em relação a
é
, e a integral de
é
. Avaliando de 0 a 1:
Passo 4
Agora, vamos integrar o resultado em relação a
, de 0 a
:
Integrando cada termo:
- Integral de
é . - Integral de
é .
Então:
Substituindo
e 0:
Passo 5
Sabemos que esse volume deve ser igual a 1. Então, igualamos a expressão a 1:
Precisamos resolver essa equação para
.
Passo 6
Vamos tentar resolver a equação
. Podemos reescrever como:
Isso é uma equação polinomial de quarto grau. Tentaremos encontrar uma solução real positiva.
Passo 7
Vamos testar alguns valores para encontrar uma aproximação de
:
- Se
:
- Se
:
- Se
:
- Se
:
Vemos que
está entre 0.8 e 0.85.
Passo 8
Para uma aproximação melhor, vamos tentar
:
Está muito próximo de 1!
Passo 9
Portanto, o valor de
que satisfaz a condição dada é aproximadamente
.
Resposta
O valor de
que torna o volume igual a 1 é aproximadamente
.