(a) Defina campo conservativo e função potencial.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Ele quer que a gente defina o que é um campo conservativo e uma função potencial. Isso está relacionado ao estudo de campos vetoriais na matéria de Cálculo ou Física, especialmente em tópicos como trabalho e energia. Para isso, vamos precisar entender conceitos de campos vetoriais, integrais de linha e condições para que um campo seja conservativo.

Passo 2

Primeiro, vamos definir o que é um campo conservativo. Um campo vetorial é chamado de conservativo se o trabalho realizado por ele ao longo de qualquer caminho fechado é zero. Em termos matemáticos, isso significa que a integral de linha de ao longo de qualquer curva fechada satisfaz:
Isso também implica que o trabalho realizado entre dois pontos não depende do caminho escolhido, apenas da posição inicial e final.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre a função potencial. Para um campo conservativo, existe uma função escalar tal que o campo pode ser obtido como o gradiente negativo dessa função. Isso é escrito como:
A função é chamada de função potencial porque ela representa a “energia potencial” associada ao campo conservativo. Esse conceito é muito útil porque facilita o cálculo de trabalhos e energias em sistemas físicos.

Resposta

Um campo conservativo é um campo vetorial onde o trabalho realizado ao longo de qualquer caminho fechado é zero, ou seja, . A função potencial é uma função escalar tal que o campo é o gradiente negativo dela, dado por .

Exercícios relacionados

Determine o comprimento das curvas dadas: r(t) = (2 sen(t), 5 t, 2 cos(t)), -10 <= t <= 10.
Seja s_n = 1 / (2^n) as somas parciais da sequência a_n. Se for convergente, obtenha sua soma.
Considere a função f(x, y) = 4 x^3 + 6 x^2 y.
(b) Seja R_l = [0, l] x [0, 1]. Determine l > 0 de tal modo que o volume do sólido abaixo do gráfico de f e acima da região R_ℓ seja exatamente 1 .
Seja f(x) = cos(x). Encontre a série de Taylor de f em torno de a.