(a) Defina campo conservativo e função potencial.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Ele quer que a gente defina o que é um campo conservativo e uma função potencial. Isso está relacionado ao estudo de campos vetoriais na matéria de Cálculo ou Física, especialmente em tópicos como trabalho e energia. Para isso, vamos precisar entender conceitos de campos vetoriais, integrais de linha e condições para que um campo seja conservativo.
Passo 2
Primeiro, vamos definir o que é um campo conservativo. Um campo vetorial
é chamado de conservativo se o trabalho realizado por ele ao longo de qualquer caminho fechado é zero. Em termos matemáticos, isso significa que a integral de linha de
ao longo de qualquer curva fechada
satisfaz:
Isso também implica que o trabalho realizado entre dois pontos não depende do caminho escolhido, apenas da posição inicial e final.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre a função potencial. Para um campo conservativo, existe uma função escalar
tal que o campo pode ser obtido como o gradiente negativo dessa função. Isso é escrito como:
A função
é chamada de função potencial porque ela representa a “energia potencial” associada ao campo conservativo. Esse conceito é muito útil porque facilita o cálculo de trabalhos e energias em sistemas físicos.
Resposta
Um campo conservativo é um campo vetorial onde o trabalho realizado ao longo de qualquer caminho fechado é zero, ou seja,
. A função potencial é uma função escalar
tal que o campo é o gradiente negativo dela, dado por
.
Exercícios relacionados
Determine o comprimento das curvas dadas:
.
Seja
as somas parciais da sequência
. Se for convergente, obtenha sua soma.
Considere a função
.
(b) Seja . Determine
de tal modo que o volume do sólido abaixo do gráfico de
e acima da região
seja exatamente 1 .
(b) Seja
Seja
. Encontre a série de Taylor de
em torno de
.