Determine o comprimento das curvas dadas:
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos determinar o comprimento da curva definida pela função vetorial no intervalo de
entre -10 e 10. Isso está relacionado ao cálculo de comprimento de curvas em cálculo integral, onde usamos uma fórmula específica para curvas parametrizadas.
Passo 2
Para encontrar o comprimento da curva, usamos a seguinte fórmula:
Aqui,
é a derivada da função vetorial
, e
representa a magnitude dessa derivada.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de
. Dada a função:
As derivadas das componentes são:
Então, a derivada vetorial é:
Passo 4
Agora, calculamos a magnitude dessa derivada:
Simplificando os termos:
Passo 5
Observamos que . Então,
Portanto, a expressão dentro da raiz fica:
Passo 6
Como a magnitude da derivada é constante, podemos simplificar o cálculo do comprimento da curva:
Resposta
O comprimento da curva é
unidades.