Determine o comprimento das curvas dadas: r(t) = (2 sen(t), 5 t, 2 cos(t)), -10 <= t <= 10.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos determinar o comprimento da curva definida pela função vetorial no intervalo de entre -10 e 10. Isso está relacionado ao cálculo de comprimento de curvas em cálculo integral, onde usamos uma fórmula específica para curvas parametrizadas.

Passo 2

Para encontrar o comprimento da curva, usamos a seguinte fórmula:
Aqui, é a derivada da função vetorial , e representa a magnitude dessa derivada.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de . Dada a função:
As derivadas das componentes são:
Então, a derivada vetorial é:

Passo 4

Agora, calculamos a magnitude dessa derivada:
Simplificando os termos:

Passo 5

Observamos que . Então,
Portanto, a expressão dentro da raiz fica:

Passo 6

Como a magnitude da derivada é constante, podemos simplificar o cálculo do comprimento da curva:

Resposta

O comprimento da curva é unidades.

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