Considere a função
f(x, y)=cc x^3+x y^4x^2+y^4, & se (x, y) neq(0,0) 4, & se (x, y)=(0,0)
f é contínua em (2,-3) ? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício que pede para verificar se a função é contínua no ponto . A função é definida de duas formas diferentes dependendo se é igual a ou não. Vamos usar conceitos de continuidade e limites para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa continuidade em um ponto. Uma função é contínua em um ponto se o limite da função quando lim(x, y) to (2, -3) f(x, y) = f(2, -3) se aproxima desse ponto for igual ao valor da função nesse ponto. Ou seja, precisamos verificar se:

Passo 3

Como f(x, y) = x^3 + x y^4x^2 + y^4 é diferente de f(2, -3) = 2^3 + 2 cdot (-3)^42^2 + (-3)^4 = 8 + 2 cdot 814 + 81 = 8 + 16285 = 17085 = 2 , usamos a primeira parte da definição da função:
Vamos calcular o valor de :

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite de lim(x, y) to (2, -3) x^3 + x y^4x^2 + y^4 quando lim(x, y) to (2, -3) 2^3 + 2 cdot (-3)^42^2 + (-3)^4 = 17085 = 2 se aproxima de :
Substituindo por 2 e por -3 diretamente na expressão (já que a função é composta por polinômios e o denominador não se anula nesse ponto):

Resposta

Como o limite quando se aproxima de é igual ao valor da função nesse ponto ( ), podemos concluir que é contínua em .

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