Determine, por meio de uma integral tripla, o volume do sólido que fica abaixo da superfície e acima da região do plano limitada pelas curvas . Para isso:
(0,5 ponto) Represente a base do sólido no plano cartesiano.

Passo 1

Então, a gente precisa descobrir o volume de um sólido que está abaixo da superfície e acima de uma região no plano que é limitada pelas curvas e . Para isso, o primeiro passo é representar a base desse sólido no plano cartesiano, ou seja, desenhar a área que está entre essas duas curvas no plano .

Passo 2

Primeiro, vamos entender as curvas que delimitam a região:
  1. Curva : Essa é uma parábola que se abre para cima, com o vértice na origem (0,0).
  2. Curva : Essa é uma parábola que se abre para baixo, com o vértice no ponto (0,4).
Para representar a base, precisamos encontrar onde essas duas curvas se encontram, ou seja, os pontos de interseção.
Encontrando os pontos de interseção:
Igualamos as duas equações:
Então, os pontos de interseção são e .
Desenhando a região:
No plano , desenhe as duas parábolas:
  • A parábola passa pelos pontos (-2,4), (-1,1), (0,0), (1,1), (2,4), etc.
  • A parábola passa pelos mesmos pontos de , mas abre para baixo.
A região limitada por essas curvas será a área entre e , onde a parábola está abaixo de .

Resposta

A base do sólido no plano cartesiano é a região fechada entre as curvas e , limitada pelas abscissas e . Essa área tem a forma de um “olho” simétrico em relação ao eixo , onde a parábola que abre para cima está dentro da parábola que abre para baixo.

Exercícios relacionados

Considere a função
Calcule o limite ou mostre que esse limite não existe.
Determine se o limites existem ou não, e calcule os valores no caso existirem .
Nos seguintes exercícios, encontre o vetor tangente unitário para a curva tendo a equação vetorial dada.
(d)
Considere a função
é contínua em ? Justifique.