Determine, por meio de uma integral tripla, o volume do sólido que fica abaixo da superfície
e acima da região do plano
limitada pelas curvas
. Para isso:
(0,5 ponto) Represente a base do sólido no plano cartesiano.
(0,5 ponto) Represente a base do sólido no plano cartesiano.
Passo 1
Então, a gente precisa descobrir o volume de um sólido que está abaixo da superfície
e acima de uma região no plano
que é limitada pelas curvas
e
. Para isso, o primeiro passo é representar a base desse sólido no plano cartesiano, ou seja, desenhar a área que está entre essas duas curvas no plano
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as curvas que delimitam a região:
-
Curva
: Essa é uma parábola que se abre para cima, com o vértice na origem (0,0). -
Curva
: Essa é uma parábola que se abre para baixo, com o vértice no ponto (0,4).
Para representar a base, precisamos encontrar onde essas duas curvas se encontram, ou seja, os pontos de interseção.
Encontrando os pontos de interseção:
Igualamos as duas equações:
Então, os pontos de interseção são
e
.
Desenhando a região:
No plano
, desenhe as duas parábolas:
- A parábola
passa pelos pontos (-2,4), (-1,1), (0,0), (1,1), (2,4), etc. - A parábola
passa pelos mesmos pontos de , mas abre para baixo.
A região limitada por essas curvas será a área entre
e
, onde a parábola
está abaixo de
.
Resposta
A base do sólido no plano cartesiano é a região fechada entre as curvas
e
, limitada pelas abscissas
e
. Essa área tem a forma de um “olho” simétrico em relação ao eixo
, onde a parábola que abre para cima está dentro da parábola que abre para baixo.
Exercícios relacionados
Considere a função
Calcule o limite
ou mostre que esse limite não existe.
Determine se o limites existem ou não, e calcule os valores no caso existirem
.
Nos seguintes exercícios, encontre o vetor tangente unitário para a curva tendo a equação vetorial dada.
(d)
(d)
Considere a função