Nos seguintes exercícios, encontre o vetor tangente unitário para a curva tendo a equação vetorial dada.
(d)
(d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o vetor tangente unitário para a curva dada pela equação vetorial. Isso faz parte da matéria de cálculo vetorial. Para isso, vamos precisar derivar a função vetorial e normalizar o resultado para que o vetor tenha comprimento 1.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função vetorial
. A derivada de uma função vetorial nos dá o vetor tangente à curva naquele ponto.
Derivando cada componente em relação a
:
Calculando as derivadas:
Passo 3
Agora, precisamos calcular a norma (ou comprimento) do vetor derivado
. A norma é dada por:
Vamos simplificar isso passo a passo:
-
Calcular cada termo ao quadrado:
-
-
Somar todos os termos:
- Fatorar:
- Tirar a raiz quadrada:
Passo 4
Finalmente, para encontrar o vetor tangente unitário
, basta dividir o vetor derivado
pela sua norma
:
Podemos simplificar dividindo cada componente por
:
Simplificando ainda mais:
Cancelando o
:
Resposta
O vetor tangente unitário para a curva é:
Exercícios relacionados
Determine, por meio de uma integral tripla, o volume do sólido que fica abaixo da superfície
e acima da região do plano
limitada pelas curvas
. Para isso:
(0,5 ponto) Represente a base do sólido no plano cartesiano.
(0,5 ponto) Represente a base do sólido no plano cartesiano.
Considere a função
Calcule o limite
ou mostre que esse limite não existe.
Considere a função
Se uma curva
tem uma equação
encontre o raio de curvatura de
no ponto
, e faça um esboço da curva e da circunferência de curvatura em
.