Nos seguintes exercícios, encontre o vetor tangente unitário para a curva tendo a equação vetorial dada.
(d) sigma(t) = t^2 i + (t + t^3 / 3) j + (t - t^3 / 3) k

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o vetor tangente unitário para a curva dada pela equação vetorial. Isso faz parte da matéria de cálculo vetorial. Para isso, vamos precisar derivar a função vetorial e normalizar o resultado para que o vetor tenha comprimento 1.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função vetorial sigma(t). A derivada de uma função vetorial nos dá o vetor tangente à curva naquele ponto.
Derivando cada componente em relação a t:
Calculando as derivadas:

Passo 3

Agora, precisamos calcular a norma (ou comprimento) do vetor derivado . A norma é dada por:
Vamos simplificar isso passo a passo:
  1. Calcular cada termo ao quadrado:
  2. Somar todos os termos:
  1. Fatorar:
  1. Tirar a raiz quadrada:

Passo 4

Finalmente, para encontrar o vetor tangente unitário T(t), basta dividir o vetor derivado pela sua norma :
Podemos simplificar dividindo cada componente por :
Simplificando ainda mais:
Cancelando o raiz(2):

Resposta

O vetor tangente unitário para a curva é:

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