Dizemos que um anel comutativo A , é um anel de integridade, se não possui divisores de zero.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nessa definição! O enunciado diz que um anel comutativo é chamado de anel de integridade se ele não possui divisores de zero. Hoje vamos entender melhor o que isso significa. Para isso, precisamos saber o que é um anel comutativo, o que são divisores de zero e por que a ausência desses últimos caracteriza um anel de integridade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um anel comutativo. Em matemática, um anel é uma estrutura algébrica que consiste em um conjunto equipado com duas operações: adição e multiplicação. Essas operações devem seguir certas propriedades, como a comutatividade da adição e a existência de elementos neutros. Quando dizemos que o anel é comutativo, significa que a multiplicação também é comutativa, ou seja, para quaisquer elementos e em , temos:

Passo 3

Agora, vamos falar sobre divisores de zero. Em um anel, um elemento é chamado de divisor de zero se existir outro elemento diferente de zero such that:
Isso significa que, mesmo que e sejam diferentes de zero, a multiplicação deles resulta em zero. Isso pode ser meio estranho, mas acontece em certos anéis.

Passo 4

Então, o que significa dizer que um anel comutativo não possui divisores de zero? Significa que, para quaisquer elementos e em , se , então necessariamente ou . Não existe nenhum par de elementos não nulos cujo produto seja zero.

Passo 5

Por fim, quando um anel comutativo não tem divisores de zero, ele é chamado de anel de integridade. Isso é importante porque os anéis de integridade têm propriedades semelhantes aos números inteiros, onde a multiplicação de dois números não nulos nunca dá zero. Essa característica é útil em muitas áreas da matemática, como na teoria dos polinômios e na álgebra abstrata.

Resposta

Então, resumindo, um anel comutativo é considerado um anel de integridade porque ele não possui divisores de zero, ou seja, não há dois elementos não nulos em que, quando multiplicados, resultem em zero.

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