Dizemos que um anel comutativo A , é um anel de integridade, se não possui divisores de zero.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nessa definição! O enunciado diz que um anel comutativo
é chamado de anel de integridade se ele não possui divisores de zero. Hoje vamos entender melhor o que isso significa. Para isso, precisamos saber o que é um anel comutativo, o que são divisores de zero e por que a ausência desses últimos caracteriza um anel de integridade.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um anel comutativo. Em matemática, um anel é uma estrutura algébrica que consiste em um conjunto equipado com duas operações: adição e multiplicação. Essas operações devem seguir certas propriedades, como a comutatividade da adição e a existência de elementos neutros. Quando dizemos que o anel é comutativo, significa que a multiplicação também é comutativa, ou seja, para quaisquer elementos
e
em
, temos:
Passo 3
Agora, vamos falar sobre divisores de zero. Em um anel, um elemento
é chamado de divisor de zero se existir outro elemento
diferente de zero such that:
Isso significa que, mesmo que
e
sejam diferentes de zero, a multiplicação deles resulta em zero. Isso pode ser meio estranho, mas acontece em certos anéis.
Passo 4
Então, o que significa dizer que um anel comutativo
não possui divisores de zero? Significa que, para quaisquer elementos
e
em
, se
, então necessariamente
ou
. Não existe nenhum par de elementos não nulos cujo produto seja zero.
Passo 5
Por fim, quando um anel comutativo não tem divisores de zero, ele é chamado de anel de integridade. Isso é importante porque os anéis de integridade têm propriedades semelhantes aos números inteiros, onde a multiplicação de dois números não nulos nunca dá zero. Essa característica é útil em muitas áreas da matemática, como na teoria dos polinômios e na álgebra abstrata.
Resposta
Então, resumindo, um anel comutativo
é considerado um anel de integridade porque ele não possui divisores de zero, ou seja, não há dois elementos não nulos em
que, quando multiplicados, resultem em zero.