Encontre a solução geral para a equação diferencial dada.
i)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de terceira ordem:
Com as condições iniciais:
O conteúdo que vamos usar aqui é equações diferenciais lineares homogêneas com constantes. Vamos precisar achar as raízes da equação característica para encontrar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a equação característica associada à equação diferencial:
Isso porque substituímos por na equação diferencial.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as raízes dessa equação cúbica. Vamos tentar alguns valores inteiros para ver se encontramos uma raiz fácil. Testando :
Não funcionou. Vamos tentar :
Bingo! é uma raiz.

Passo 4

Com sendo raiz, podemos fazer uma divisão polinomial para fatorar a equação característica. Dividimos por :

Passo 5

Agora, resolvemos a equação quadrática para encontrar as outras raízes:
Então, temos:

Passo 6

Com as raízes encontradas , e , a solução geral da equação diferencial é:

Passo 7

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores de , e .
Primeiro, :

Passo 8

Segundo, a primeira derivada é:
Aplicando :

Passo 9

Terceiro, a segunda derivada é:
Aplicando :

Passo 10

Agora, temos um sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema. Da primeira equação, podemos expressar .

Passo 11

Substituindo na segunda equação:

Passo 12

Substituindo e na terceira equação:

Passo 13

Agora, encontramos . Substituindo de volta:

Resposta

A solução da equação diferencial com as condições iniciais dadas é:

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Encontre a solução geral para a equação diferencial dada.
j)
Considere a função
em que .
Julgue os itens a seguir e assinale a única alternativa correta.
I. Se a função tem dois pontos de mínimo e um ponto de sela.
II. Para todo , essa função não possui máximo local.
III. Se a função tem mais de 20 pontos críticos.
Escolha uma opção:
Resolva a equação diferencial dada sujeito às condições iniciais indicadas.
d)
Resolva a equação diferencial dada com coeficientes variáveis.
d)