Encontre a solução geral para a equação diferencial dada.
i)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de terceira ordem:
Com as condições iniciais:
O conteúdo que vamos usar aqui é equações diferenciais lineares homogêneas com constantes. Vamos precisar achar as raízes da equação característica para encontrar a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a equação característica associada à equação diferencial:
Isso porque substituímos por na equação diferencial.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar as raízes dessa equação cúbica. Vamos tentar alguns valores inteiros para ver se encontramos uma raiz fácil. Testando :
Não funcionou. Vamos tentar :
Bingo! é uma raiz.
Passo 4
Com sendo raiz, podemos fazer uma divisão polinomial para fatorar a equação característica. Dividimos por :
Passo 5
Agora, resolvemos a equação quadrática para encontrar as outras raízes:
Então, temos:
Passo 6
Com as raízes encontradas , e , a solução geral da equação diferencial é:
Passo 7
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores de , e .
Primeiro, :
Passo 8
Segundo, a primeira derivada é:
Aplicando :
Passo 9
Terceiro, a segunda derivada é:
Aplicando :
Passo 10
Agora, temos um sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema. Da primeira equação, podemos expressar .
Passo 11
Substituindo na segunda equação:
Passo 12
Substituindo e na terceira equação:
Passo 13
Agora, encontramos . Substituindo de volta:
Resposta
A solução da equação diferencial com as condições iniciais dadas é: