Encontre a solução geral para a equação diferencial dada.
i) ly^prime prime prime+2 y^prime prime-5 y^prime-6 y=0 y(0)=y^prime(0)=0, y^prime prime(0)=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de terceira ordem:
y''' + 2y'' - 5y' - 6y = 0
Com as condições iniciais:
y(0) = 0, y'(0) = 0, y''(0) = 1
O conteúdo que vamos usar aqui é equações diferenciais lineares homogêneas com constantes. Vamos precisar achar as raízes da equação característica para encontrar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a equação característica associada à equação diferencial:
r^3 + 2r^2 - 5r - 6 = 0
Isso porque substituímos por na equação diferencial.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as raízes dessa equação cúbica. Vamos tentar alguns valores inteiros para ver se encontramos uma raiz fácil. Testando 1^3 + 2(1)^2 - 5(1) - 6 = 1 + 2 - 5 - 6 = -8 neq 0 :
2^3 + 2(2)^2 - 5(2) - 6 = 8 + 8 - 10 - 6 = 0
Não funcionou. Vamos tentar :
Bingo! é uma raiz.

Passo 4

Com r^3 + 2r^2 - 5r - 6 = (r - 2)(r^2 + 4r + 3) sendo raiz, podemos fazer uma divisão polinomial para fatorar a equação característica. Dividimos por :

Passo 5

Agora, resolvemos a equação quadrática r = -4 pm raiz16 - 122 = -4 pm 22 para encontrar as outras raízes:
r = -1 e r = -3
Então, temos:

Passo 6

Com as raízes encontradas y(t) = C1 e^2t + C2 e^-t + C3 e^-3t , e , a solução geral da equação diferencial é:

Passo 7

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores de 0 = C1 + C2 + C3 , e .
Primeiro, :

Passo 8

Segundo, a primeira derivada y'(t) = 2C1 e^2t - C2 e^-t - 3C3 e^-3t é:
0 = 2C1 - C2 - 3C3
Aplicando :

Passo 9

Terceiro, a segunda derivada y''(t) = 4C1 e^2t + C2 e^-t + 9C3 e^-3t é:
1 = 4C1 + C2 + 9C3
Aplicando :

Passo 10

Agora, temos um sistema de equações:
C1 + C2 + C3 = 0 2C1 - C2 - 3C3 = 0 4C1 + C2 + 9C3 = 1
Vamos resolver esse sistema. Da primeira equação, podemos expressar .

Passo 11

Substituindo 2(-C2 - C3) - C2 - 3C3 = 0 -2C2 - 2C3 - C2 - 3C3 = 0 -3C2 - 5C3 = 0 3C2 + 5C3 = 0 C2 = -53C3 na segunda equação:

Passo 12

Substituindo 4(-(-53C3) - C3) + (-53C3) + 9C3 = 1 4(53C3 - C3) - 53C3 + 9C3 = 1 4(23C3) - 53C3 + 9C3 = 1 83C3 - 53C3 + 9C3 = 1 33C3 + 9C3 = 1 10C3 = 1 C3 = 110 e na terceira equação:

Passo 13

Agora, encontramos C2 = -53 times 110 = -16 . Substituindo de volta:
C1 = -(-16) - 110 = 16 - 110 = 530 - 330 = 230 = 115

Resposta

A solução da equação diferencial com as condições iniciais dadas é:
y(t) = 115 e^2t - 16 e^-t + 110 e^-3t

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