Encontre a solução geral para a equação diferencial dada.
j)

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial com as condições iniciais , e . Estamos lidando com uma equação diferencial linear de terceira ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral da equação e depois aplicar as condições iniciais para determinar os valores das constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a equação característica associada à equação diferencial. Para uma equação da forma , a equação característica é obtida substituindo :

Passo 3

Agora, resolvemos a equação característica . Isso implica:
Como a equação é de terceira ordem, temos uma raiz real múltipla. No entanto, neste caso, todas as raízes são iguais a 2.

Passo 4

Com a raiz de multiplicidade três, a solução geral da equação diferencial é:
Onde , e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.

Passo 5

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar os valores das constantes.
Primeiro, calculamos :
Então, .

Passo 6

Em seguida, calculamos a primeira derivada :
Simplificando e substituindo :
Então, .

Passo 7

Por último, calculamos a segunda derivada :
Simplificando e substituindo e :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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Considere a função
em que .
Julgue os itens a seguir e assinale a única alternativa correta.
I. Se a função tem dois pontos de mínimo e um ponto de sela.
II. Para todo , essa função não possui máximo local.
III. Se a função tem mais de 20 pontos críticos.
Escolha uma opção:
termine os valores máximos e minimos locais e pontos de são . Lembre de justificar o ontrados.
Encontre a solução geral para a equação diferencial dada.
i)
Resolva a equação diferencial dada sujeito às condições iniciais indicadas.
d)