Encontre a solução geral para a equação diferencial dada.
j) y''' - 8y = 0, y(0) = 0, y'(0) = -1, y''(0) = 0

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial com as condições iniciais , e . Estamos lidando com uma equação diferencial linear de terceira ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral da equação e depois aplicar as condições iniciais para determinar os valores das constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a equação característica associada à equação diferencial. Para uma equação da forma , a equação característica é obtida substituindo :

Passo 3

Agora, resolvemos a equação característica . Isso implica:
Como a equação é de terceira ordem, temos uma raiz real múltipla. No entanto, neste caso, todas as raízes são iguais a 2.

Passo 4

Com a raiz de multiplicidade três, a solução geral da equação diferencial é:
Onde , e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.

Passo 5

Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar os valores das constantes.
Primeiro, calculamos :
Então, .

Passo 6

Em seguida, calculamos a primeira derivada :
Simplificando e substituindo :
Então, .

Passo 7

Por último, calculamos a segunda derivada :
Simplificando e substituindo e :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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