Encontre a solução geral para a equação diferencial dada.
j)
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Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial
com as condições iniciais
,
e
. Estamos lidando com uma equação diferencial linear de terceira ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral da equação e depois aplicar as condições iniciais para determinar os valores das constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a equação característica associada à equação diferencial. Para uma equação da forma
, a equação característica é obtida substituindo
:
Passo 3
Agora, resolvemos a equação característica
. Isso implica:
Como a equação é de terceira ordem, temos uma raiz real múltipla. No entanto, neste caso, todas as raízes são iguais a 2.
Passo 4
Com a raiz
de multiplicidade três, a solução geral da equação diferencial é:
Onde
,
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.
Passo 5
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar os valores das constantes.
Primeiro, calculamos
:
Então,
.
Passo 6
Em seguida, calculamos a primeira derivada
:
Simplificando e substituindo
:
Então,
.
Passo 7
Por último, calculamos a segunda derivada
:
Simplificando e substituindo
e
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: