Considere a função abaixo:
Determine e quando .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função de duas variáveis, , definida de forma diferente para o ponto e para qualquer outro ponto . A tarefa é determinar as derivadas parciais de em relação a e quando .
Aqui, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente o cálculo de derivadas parciais para funções de duas variáveis. Precisaremos aplicar a regra do quociente para derivar a função .

Passo 2

Vamos começar identificando a função que vamos derivar. Para , temos:
Queremos encontrar e , que são as derivadas parciais de em relação a e , respectivamente.

Passo 3

Primeiro, vamos calcular , a derivada parcial de em relação a . Para isso, aplicamos a regra do quociente, que diz que a derivada de uma fração é:
Aqui, e .

Passo 4

Vamos calcular as derivadas de e em relação a :
  • Derivada de em relação a :
  • Derivada de em relação a :

Passo 5

Agora, aplicando a regra do quociente para :

Passo 6

Vamos simplificar o numerador passo a passo:
  1. Expandindo :
  2. Expandindo :
  3. Subtraindo os dois resultados:

Passo 7

Substituindo de volta no :

Passo 8

Agora, vamos calcular , a derivada parcial de em relação a . Usamos novamente a regra do quociente:
Onde:

Passo 9

Calculando as derivadas de e em relação a :
  • Derivada de em relação a :
  • Derivada de em relação a :

Passo 10

Aplicando a regra do quociente para :

Passo 11

Vamos simplificar o numerador passo a passo:
  1. Expandindo :
  2. Expandindo :
  3. Subtraindo os dois resultados:

Passo 12

Substituindo de volta no :

Resposta

As derivadas parciais são:
e

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Considere a função dada por
(a) Mostre que e existem e calcule-as.
Determine o valor de para que as funções sejam contínuas.
Considere a função dada por
Encontre e .
Prove, utilizando a definição formal de limites, que:
.