Considere a função abaixo:
Determine
e
quando
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função de duas variáveis,
, definida de forma diferente para o ponto
e para qualquer outro ponto
. A tarefa é determinar as derivadas parciais de
em relação a
e
quando
.
Aqui, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente o cálculo de derivadas parciais para funções de duas variáveis. Precisaremos aplicar a regra do quociente para derivar a função
.
Passo 2
Vamos começar identificando a função que vamos derivar. Para
, temos:
Queremos encontrar
e
, que são as derivadas parciais de
em relação a
e
, respectivamente.
Passo 3
Primeiro, vamos calcular
, a derivada parcial de
em relação a
. Para isso, aplicamos a regra do quociente, que diz que a derivada de uma fração
é:
Aqui,
e
.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas de
e
em relação a
:
-
Derivada de
em relação a : -
Derivada de
em relação a :
Passo 5
Agora, aplicando a regra do quociente para
:
Passo 6
Vamos simplificar o numerador passo a passo:
-
Expandindo
: -
Expandindo
: -
Subtraindo os dois resultados:
Passo 7
Substituindo de volta no
:
Passo 8
Agora, vamos calcular
, a derivada parcial de
em relação a
. Usamos novamente a regra do quociente:
Onde:
Passo 9
Calculando as derivadas de
e
em relação a
:
-
Derivada de
em relação a : -
Derivada de
em relação a :
Passo 10
Aplicando a regra do quociente para
:
Passo 11
Vamos simplificar o numerador passo a passo:
-
Expandindo
: -
Expandindo
: -
Subtraindo os dois resultados:
Passo 12
Substituindo de volta no
:
Resposta
As derivadas parciais são:
e
Exercícios relacionados
Considere a função
dada por
(a) Mostre que e
existem e calcule-as.
(a) Mostre que
Determine o valor de
para que as funções sejam contínuas.
Considere a função
dada por
Encontre e
.
Encontre
Prove, utilizando a definição formal de limites, que:
.