Prove, utilizando a definição formal de limites, que:
.

Passo 1

Vamos resolver o limite . Esse problema está dentro do conteúdo de limites de funções de duas variáveis. Para provar isso, vamos usar a definição formal de limite, que nos ajuda a verificar se, conforme se aproxima de , a expressão realmente se aproxima de .

Passo 2

Primeiro, vamos entender a definição formal de limite para funções de duas variáveis. Dizemos que se, para todo , existe um tal que sempre que , então . Aqui, queremos que , e .

Passo 3

Aplicando a definição ao nosso caso, queremos mostrar que para todo , existe um tal que se , então .

Passo 4

Vamos simplificar . Sabemos que está se aproximando de e está se aproximando de . Então, podemos reescrever e , onde e são pequenos.
Substituindo, temos:
Então, precisamos garantir que .

Passo 5

Agora, observamos que a distância entre e é . Para controlar , usaremos a desigualdade do triângulo:
E como , temos que e . Assim:

Passo 6

Queremos que , então, a partir da desigualdade , basta garantir que . Assim, podemos escolher .

Passo 7

Concluímos que para todo , se escolhermos , então sempre que , teremos . Isso satisfaz a definição formal de limite.

Resposta

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Considere a função dada por
Encontre e .
Considere a função abaixo:
Determine e quando .
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
.
3
Determine o maior conjunto no qual a função é contínua.
(a) .
Determine o maior conjunto no qual a função é contínua.
.