Prove, utilizando a definição formal de limites, que:
lim (x, y) (-1,1) x-y=-2.

Passo 1

Vamos resolver o limite lim (x, y) (-1,1) x - y = -2. Esse problema está dentro do conteúdo de limites de funções de duas variáveis. Para provar isso, vamos usar a definição formal de limite, que nos ajuda a verificar se, conforme (x, y) se aproxima de (-1,1), a expressão x - y realmente se aproxima de -2.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a definição formal de limite para funções de duas variáveis. Dizemos que lim (x, y) (a,b) f(x,y) = L se, para todo varepsilon > 0, existe um de 0 tal que sempre que 0 < raiz(x - a)^2 + (y - b)^2 < de, então |f(x,y) - L| < varepsilon. Aqui, queremos que f(x,y) = x - y, (a,b) = (-1,1) e L = -2.

Passo 3

Aplicando a definição ao nosso caso, queremos mostrar que para todo varepsilon > 0, existe um de 0 tal que se 0 < raiz(x + 1)^2 + (y - 1)^2 < de, então | (x - y) - (-2) | = |x - y + 2| < varepsilon.

Passo 4

Vamos simplificar |x - y + 2|. Sabemos que x está se aproximando de -1 e y está se aproximando de 1. Então, podemos reescrever x = -1 + h e y = 1 + k, onde h e k são pequenos.
Substituindo, temos:
|x - y + 2| = |-1 + h - (1 + k) + 2| = |h - k|
Então, precisamos garantir que |h - k| < varepsilon.

Passo 5

Agora, observamos que a distância entre (x, y) e (-1,1) é raizh^2 + k^2 < de. Para controlar |h - k|, usaremos a desigualdade do triângulo:
|h - k| <= |h| + |k|
E como h^2 + k^2 < de, temos que |h| < de e |k| < de. Assim:
|h - k| <= |h| + |k| < de

Passo 6

Queremos que |h - k| < varepsilon, então, a partir da desigualdade |h - k| < 2de, basta garantir que 2de. Assim, podemos escolher de.

Passo 7

Concluímos que para todo varepsilon > 0, se escolhermos de, então sempre que 0 < raiz(x + 1)^2 + (y - 1)^2 < de, teremos |x - y + 2| < varepsilon. Isso satisfaz a definição formal de limite.

Resposta

lim (x, y) (-1,1) x - y = -2

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