Prove, utilizando a definição formal de limites, que:
.
Passo 1
Vamos resolver o limite
. Esse problema está dentro do conteúdo de limites de funções de duas variáveis. Para provar isso, vamos usar a definição formal de limite, que nos ajuda a verificar se, conforme
se aproxima de
, a expressão
realmente se aproxima de
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a definição formal de limite para funções de duas variáveis. Dizemos que
se, para todo
, existe um
tal que sempre que
, então
. Aqui, queremos que
,
e
.
Passo 3
Aplicando a definição ao nosso caso, queremos mostrar que para todo
, existe um
tal que se
, então
.
Passo 4
Vamos simplificar
. Sabemos que
está se aproximando de
e
está se aproximando de
. Então, podemos reescrever
e
, onde
e
são pequenos.
Substituindo, temos:
Então, precisamos garantir que
.
Passo 5
Agora, observamos que a distância entre
e
é
. Para controlar
, usaremos a desigualdade do triângulo:
E como
, temos que
e
. Assim:
Passo 6
Queremos que
, então, a partir da desigualdade
, basta garantir que
. Assim, podemos escolher
.
Passo 7
Concluímos que para todo
, se escolhermos
, então sempre que
, teremos
. Isso satisfaz a definição formal de limite.
Resposta
Exercícios relacionados
Considere a função
dada por
Encontre e
.
Encontre
Considere a função abaixo:
Determine
e
quando
.
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
.
3
Determine o maior conjunto no qual a função é contínua.
(a) .
3
Determine o maior conjunto no qual a função é contínua.
(a)
Determine o maior conjunto no qual a função é contínua.
.