Considere a função f: R^2 -> R dada por f(x, y) = raiz cúbica(x * y)
(a) Mostre que fx(0,0) e f_y(0,0) existem e calcule-as.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função e precisa descobrir as derivadas parciais dela em , ou seja, e . Isso envolve cálculo de derivadas parciais, que basicamente mede como a função muda em relação a uma variável enquanto a outra fica fixa.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular . A derivada parcial em relação a no ponto é definida como:

Passo 3

Vamos substituir na fórmula:
Como para qualquer , o limite é 0.

Passo 4

Agora, vamos calcular . A derivada parcial em relação a no ponto é:

Passo 5

Substituindo na fórmula:
Assim como antes, para qualquer , então o limite também é 0.

Resposta

As derivadas parciais em são e .

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