Determine o valor de para que as funções sejam contínuas.

Passo 1

Vamos resolver um exercício que pede para encontrar o valor de que torna a função contínua. A função é definida da seguinte forma:
Aqui, queremos garantir que a função não tenha “saltos” ou “quebras” no ponto . Para isso, precisamos calcular o limite de quando se aproxima de e igualar esse limite a .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite de quando :
Podemos simplificar essa expressão dividindo cada termo do numerador pelo denominador:
Isso simplifica para:
Observando que , podemos reescrever a expressão como:

Passo 3

Agora, vamos analisar o termo quando . Usando coordenadas polares, onde e , temos:
À medida que , qualquer múltiplo de também tende a 0. Portanto:

Passo 4

Com isso, retornamos ao limite original:

Resposta

Para que a função seja contínua, o valor de deve ser .

Exercícios relacionados

Prove, utilizando a definição formal de limites, que:
.
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
.
Considere a função dada por
(a) Mostre que e existem e calcule-as.
Considere a função abaixo:
Determine e quando .