Determine o valor de
para que as funções sejam contínuas.
Passo 1
Vamos resolver um exercício que pede para encontrar o valor de
que torna a função
contínua. A função é definida da seguinte forma:
Aqui, queremos garantir que a função não tenha “saltos” ou “quebras” no ponto
. Para isso, precisamos calcular o limite de
quando
se aproxima de
e igualar esse limite a
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o limite de
quando
:
Podemos simplificar essa expressão dividindo cada termo do numerador pelo denominador:
Isso simplifica para:
Observando que
, podemos reescrever a expressão como:
Passo 3
Agora, vamos analisar o termo
quando
. Usando coordenadas polares, onde
e
, temos:
À medida que
, qualquer múltiplo de
também tende a 0. Portanto:
Passo 4
Com isso, retornamos ao limite original:
Resposta
Para que a função seja contínua, o valor de
deve ser
.
Exercícios relacionados
Prove, utilizando a definição formal de limites, que:
.
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
.
Considere a função
dada por
(a) Mostre que e
existem e calcule-as.
(a) Mostre que
Considere a função abaixo:
Determine
e
quando
.