Determine o valor de L para que as funções sejam contínuas.
f(x, y)=l3 x^2+x y^2+3 y^2x^2+y^2 se (x, y) neq(0,0) L se (x, y)=(0,0)

Passo 1

Vamos resolver um exercício que pede para encontrar o valor de f(x, y) = 3x^2 + xy^2 + 3y^2x^2 + y^2 & se (x, y) neq (0,0) L & se (x, y) = (0,0) que torna a função contínua. A função é definida da seguinte forma:
Aqui, queremos garantir que a função não tenha “saltos” ou “quebras” no ponto . Para isso, precisamos calcular o limite de quando se aproxima de e igualar esse limite a .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite de lim(x, y) to (0,0) 3x^2 + xy^2 + 3y^2x^2 + y^2 quando 3x^2x^2 + y^2 + xy^2x^2 + y^2 + 3y^2x^2 + y^2 :
3 cdot x^2x^2 + y^2 + xy^2x^2 + y^2 + 3 cdot y^2x^2 + y^2
Podemos simplificar essa expressão dividindo cada termo do numerador pelo denominador:
3 cdot 1 + xy^2x^2 + y^2 = 3 + xy^2x^2 + y^2
Isso simplifica para:
Observando que , podemos reescrever a expressão como:

Passo 3

Agora, vamos analisar o termo xy^2x^2 + y^2 = r cos theta cdot r^2 sin^2 thetar^2 = r cos theta sin^2 theta quando limr to 0 r cos theta sin^2 theta = 0 . Usando coordenadas polares, onde e , temos:
À medida que , qualquer múltiplo de também tende a 0. Portanto:

Passo 4

Com isso, retornamos ao limite original:
lim(x, y) to (0,0) 3x^2 + xy^2 + 3y^2x^2 + y^2 = 3 + 0 = 3

Resposta

Para que a função seja contínua, o valor de L = 3 deve ser .

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