Considere a função dada por
Encontre e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função de duas variáveis, , que está definida de forma diferente quando é igual a ou não. A gente precisa encontrar as derivadas parciais de em relação a e no ponto . Pra isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, mais especificamente, a definição de derivadas parciais usando limites.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma derivada parcial. A derivada parcial de em relação a no ponto é o limite da variação de quando só varia, mantendo fixo em 0. Matemáticamente, isso é escrito como:

Passo 3

Vamos calcular . Substituindo na função dada:
E sabemos que . Então, substituindo na fórmula da derivada:

Passo 4

Agora, vamos fazer a mesma coisa para a derivada parcial em relação a . A definição é:

Passo 5

Calculando :
Substituindo na fórmula da derivada:

Resposta

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Considere a função abaixo:
Determine e quando .
Considere a função dada por
(a) Mostre que e existem e calcule-as.
Prove, utilizando a definição formal de limites, que:
.
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
.
3
Determine o maior conjunto no qual a função é contínua.
(a) .