Considere a função f(x, y) dada por f(x, y)=lx^3-y^3x^2+y^2 se (x, y) neq(0,0) 0 se (x, y)=(0,0)
Encontre partial fpartial x(0,0) e partial fpartial y(0,0).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função de duas variáveis, , que está definida de forma diferente quando é igual a ou não. A gente precisa encontrar as derivadas parciais de em relação a e no ponto . Pra isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, mais especificamente, a definição de derivadas parciais usando limites.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma derivada parcial. A derivada parcial de partial fpartial x(0,0) = limh to 0 f(h, 0) - f(0, 0)h em relação a no ponto é o limite da variação de quando só varia, mantendo fixo em 0. Matemáticamente, isso é escrito como:

Passo 3

Vamos calcular f(h, 0) = h^3 - 0^3h^2 + 0^2 = h^3h^2 = h (para h neq 0) . Substituindo partial fpartial x(0,0) = limh to 0 h - 0h = limh to 0 1 = 1 na função dada:
E sabemos que . Então, substituindo na fórmula da derivada:

Passo 4

Agora, vamos fazer a mesma coisa para a derivada parcial em relação a partial fpartial y(0,0) = limk to 0 f(0, k) - f(0, 0)k . A definição é:

Passo 5

Calculando f(0, k) = 0^3 - k^30^2 + k^2 = -k^3k^2 = -k (para k neq 0) :
partial fpartial y(0,0) = limk to 0 -k - 0k = limk to 0 (-1) = -1
Substituindo na fórmula da derivada:

Resposta

partial fpartial x(0,0) = 1 e partial fpartial y(0,0) = -1

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