Considere a função abaixo:
Determine
e
usando a definição.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função
definida de duas maneiras diferentes, dependendo se
é igual a
ou não. A tarefa é encontrar as derivadas parciais da função em relação a
e
no ponto
usando a definição de derivada parcial. Para isso, vamos precisar entender o que é derivada parcial e como aplicá-la usando limites.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma derivada parcial. A derivada parcial de
em relação a
no ponto
, denotada por
, mede como a função muda quando você varia
mantendo
fixo em 0. Matemáticamente, isso é definido como:
De forma similar, a derivada parcial em relação a
,
, é:
Passo 3
Vamos começar calculando
. Precisamos encontrar
quando
se aproxima de 0.
Observando a definição da função:
Quando
e
, temos:
E sabemos que
.
Então:
Passo 4
Agora, vamos calcular
. Precisamos encontrar
quando
se aproxima de 0.
Usando a definição da função:
Quando
e
, temos:
E sabemos que
.
Então:
Resposta
As derivadas parciais no ponto
são: