Considere a função abaixo:
f(x, y) = { (x^3 y - x y^3) / (x^2 + y^2), se (x, y) ≠ (0,0) ; 0, se (x, y) = (0,0) }
Determine fx(0,0) e f_y(0,0) usando a definição.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função definida de duas maneiras diferentes, dependendo se é igual a ou não. A tarefa é encontrar as derivadas parciais da função em relação a e no ponto usando a definição de derivada parcial. Para isso, vamos precisar entender o que é derivada parcial e como aplicá-la usando limites.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma derivada parcial. A derivada parcial de em relação a no ponto , denotada por , mede como a função muda quando você varia mantendo fixo em 0. Matemáticamente, isso é definido como:
De forma similar, a derivada parcial em relação a , , é:

Passo 3

Vamos começar calculando . Precisamos encontrar quando se aproxima de 0.
Observando a definição da função:
Quando e , temos:
E sabemos que .
Então:

Passo 4

Agora, vamos calcular . Precisamos encontrar quando se aproxima de 0.
Usando a definição da função:
Quando e , temos:
E sabemos que .
Então:

Resposta

As derivadas parciais no ponto são:

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