Marque os pontos cujas coordenadas polares são dadas. A seguir, encontre dois outros pares de coordenadas polares desse ponto, um com r > 0 e o outro com r < 0.
(b) (-3, pi / 6)

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um ponto com coordenadas polares . Nosso objetivo é primeiro localizar esse ponto no sistema de coordenadas polares. Depois, precisamos encontrar duas outras formas de representar esse mesmo ponto: uma com e outra com .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são coordenadas polares. Em coordenadas polares, um ponto é representado por (r, θ), onde:
  • r é a distância do ponto à origem (ponto central).
  • theta é o ângulo medido a partir do eixo positivo x.
Quando r é negativo, isso significa que o ponto está na direção oposta ao ângulo theta.

Passo 3

Vamos localizar o ponto . Como é negativo, o ponto está na direção oposta ao ângulo . Para facilitar a visualização, podemos transformar as coordenadas polares negativas em positivas ajustando o ângulo.

Passo 4

Para converter para uma representação com , fazemos o seguinte:
  • Alteramos o sinal de r de negativo para positivo: .
  • Adicionamos pi ao ângulo para inverter a direção: .
Assim, a coordenada equivalente com é .

Passo 5

Para encontrar outra representação com , podemos subtrair pi do ângulo:
  • Mantemos .
  • Subtraímos pi do ângulo: .
Portanto, outra coordenada equivalente com é .

Resposta

As outras coordenadas polares para o mesmo ponto são com e com .

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