Marque os pontos cujas coordenadas polares são dadas. A seguir, encontre dois outros pares de coordenadas polares desse ponto, um com
e o outro com
.
(b)
(b)
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um ponto com coordenadas polares
. Nosso objetivo é primeiro localizar esse ponto no sistema de coordenadas polares. Depois, precisamos encontrar duas outras formas de representar esse mesmo ponto: uma com
e outra com
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são coordenadas polares. Em coordenadas polares, um ponto é representado por
, onde:
-
é a distância do ponto à origem (ponto central). -
é o ângulo medido a partir do eixo positivo .
Quando
é negativo, isso significa que o ponto está na direção oposta ao ângulo
.
Passo 3
Vamos localizar o ponto
. Como
é negativo, o ponto está na direção oposta ao ângulo
. Para facilitar a visualização, podemos transformar as coordenadas polares negativas em positivas ajustando o ângulo.
Passo 4
Para converter
para uma representação com
, fazemos o seguinte:
- Alteramos o sinal de
de negativo para positivo: . - Adicionamos
ao ângulo para inverter a direção: .
Assim, a coordenada equivalente com
é
.
Passo 5
Para encontrar outra representação com
, podemos subtrair
do ângulo:
- Mantemos
. - Subtraímos
do ângulo: .
Portanto, outra coordenada equivalente com
é
.
Resposta
As outras coordenadas polares para o mesmo ponto são
com
e
com
.