Esboce a região no plano que consiste em pontos cujas coordenadas polares satisfazem as condições dadas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente desenhar a região no plano que corresponde aos pontos com coordenadas polares que satisfazem as seguintes condições:
Isso envolve trabalhar com coordenadas polares, que é um sistema onde cada ponto é definido por uma distância até a origem e um ângulo em relação ao eixo positivo . Vamos precisar entender como essas restrições de e afetam a região que vamos desenhar.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a condição . Isso significa que a distância do ponto até a origem deve ser pelo menos 1 e no máximo 3. Geometricamente, isso cria uma “rosquinha” ou anel circular com um raio interno de 1 e um raio externo de 3. Então, todos os pontos dessa região estão entre esses dois círculos concêntricos.

Passo 3

Agora, vamos considerar a condição . O ângulo está medindo a direção dos pontos em relação ao eixo positivo. é equivalente a 30 graus e é equivalente a 150 graus. Isso significa que estamos interessados apenas nos pontos que estão entre 30 e 150 graus em relação ao eixo .

Passo 4

Para combinar essas duas condições, vamos sobrepor a região do anel circular com os limites de ângulo. Ou seja, vamos pegar apenas a parte do anel onde os pontos estão entre 30 e 150 graus. Isso vai resultar em uma fatia de anel, como um setor de pizza, mas com uma abertura interna de 1 e externa de 3.

Passo 5

Então, para esboçar a região no plano:
  1. Desenhe dois círculos concêntricos com raios 1 e 3.
  2. Trace duas linhas que partem da origem formando ângulos de (30 graus) e (150 graus) com o eixo .
  3. Somente a parte do anel entre essas duas linhas de ângulo representa a região que satisfaz ambas as condições dadas.

Resposta

A região descrita é uma fatia de anel circular entre os círculos de raio 1 e 3, limitada pelos ângulos e . Geometricamente, é uma área em forma de setor de pizza com a abertura interna de raio 1 e externa de raio 3, entre 30 e 150 graus em relação ao eixo .

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Considere a função abaixo:
Determine e usando a definição.
Considere a função dada por
Mostre que não é diferenciável no .
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© Se , o que podemos afirmar sobre e ?