Esboce a região no plano que consiste em pontos cujas coordenadas polares satisfazem as condições dadas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente desenhar a região no plano que corresponde aos pontos com coordenadas polares que satisfazem as seguintes condições:
Isso envolve trabalhar com coordenadas polares, que é um sistema onde cada ponto é definido por uma distância
até a origem e um ângulo
em relação ao eixo positivo
. Vamos precisar entender como essas restrições de
e
afetam a região que vamos desenhar.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a condição
. Isso significa que a distância do ponto até a origem deve ser pelo menos 1 e no máximo 3. Geometricamente, isso cria uma “rosquinha” ou anel circular com um raio interno de 1 e um raio externo de 3. Então, todos os pontos dessa região estão entre esses dois círculos concêntricos.
Passo 3
Agora, vamos considerar a condição
. O ângulo
está medindo a direção dos pontos em relação ao eixo
positivo.
é equivalente a 30 graus e
é equivalente a 150 graus. Isso significa que estamos interessados apenas nos pontos que estão entre 30 e 150 graus em relação ao eixo
.
Passo 4
Para combinar essas duas condições, vamos sobrepor a região do anel circular com os limites de ângulo. Ou seja, vamos pegar apenas a parte do anel onde os pontos estão entre 30 e 150 graus. Isso vai resultar em uma fatia de anel, como um setor de pizza, mas com uma abertura interna de 1 e externa de 3.
Passo 5
Então, para esboçar a região no plano:
- Desenhe dois círculos concêntricos com raios 1 e 3.
- Trace duas linhas que partem da origem formando ângulos de
(30 graus) e (150 graus) com o eixo . - Somente a parte do anel entre essas duas linhas de ângulo representa a região que satisfaz ambas as condições dadas.
Resposta
A região descrita é uma fatia de anel circular entre os círculos de raio 1 e 3, limitada pelos ângulos
e
. Geometricamente, é uma área em forma de setor de pizza com a abertura interna de raio 1 e externa de raio 3, entre 30 e 150 graus em relação ao eixo
.
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Explique com suas palavras o significado das equações abaixo e responda aos questionamentos.
(b) e
. É possível que
exista? Explique.
(b)
Considere a função abaixo:
Determine
e
usando a definição.
Considere a função
dada por
Mostre que não é diferenciável no
.
Mostre que
Explique com suas palavras o significado das equações abaixo e responda aos questionamentos.
© Se , o que podemos afirmar sobre
e
?
© Se