Considere a função abaixo.
Esboce o gráfico da função.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente esboçar o gráfico da função que é definida por partes. Isso significa que a função tem diferentes expressões dependendo do intervalo de . Para resolver isso, a gente vai analisar cada parte da função separadamente e depois juntar tudo no gráfico final.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da função e os intervalos de onde elas se aplicam:
Cada trecho dessa função é definido para um intervalo específico de . Nosso objetivo é esboçar o gráfico para cada intervalo e depois juntar tudo.

Passo 3

Vamos começar com o primeiro intervalo: e a expressão .
Essa é uma parábola que abre para cima. Vamos calcular alguns pontos:
  • Para :
  • Para :
  • Para (não incluso):
Então, nesse intervalo, a parábola vai de até perto de .

Passo 4

Agora, vamos para o segundo intervalo: com .
Essa é uma reta crescente. Vamos calcular alguns pontos:
  • Para :
  • Para (não incluso):
Então, nesse intervalo, a reta vai de perto de até perto de .

Passo 5

O terceiro trecho é simplesmente , onde . Isso significa que no ponto , o valor da função é exatamente 1. Então temos o ponto no gráfico.

Passo 6

Continuando, temos o quarto intervalo: com .
Essa é uma reta decrescente. Vamos calcular alguns pontos:
  • Para :
  • Para (não incluso):
Então, nesse intervalo, a reta vai de perto de até perto de .

Passo 7

Por último, temos o intervalo com .
Isso é simplesmente uma linha horizontal no eixo . Para qualquer nesse intervalo, .
Então, vamos ter uma linha de até .

Resposta

Juntando todos esses trechos, o gráfico da função fica assim:
  • Uma parábola de até quase .
  • Uma reta crescente de perto de até perto de .
  • Um ponto específico em .
  • Uma reta decrescente de perto de até perto de .
  • Uma linha horizontal de até .
Esse esboço mostra como a função se comporta em cada intervalo de .

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Determine e para que as funções dadas seja contínua sobre toda reta real. Justifique.
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