Determine e para que as funções dadas seja contínua sobre toda reta real. Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar os valores de e para que a função seja contínua em toda a reta real. A função está definida por partes:
Para garantir a continuidade em todo o domínio, precisamos que não haja “saltos” na função, especialmente no ponto onde a definição muda, que nesse caso é . Vamos ver como garantir isso!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é continuidade. Uma função é contínua em um ponto se o limite pela esquerda, o limite pela direita e o valor da função nesse ponto são iguais. Então, no nosso caso, precisamos que:
Vamos calcular cada um desses valores.

Passo 3

Calculando :
Como está na primeira parte da função :

Passo 4

Calculando o limite pela esquerda ( ):
Usamos a primeira parte da função:

Passo 5

Calculando o limite pela direita ( ):
Usamos a segunda parte da função:

Passo 6

Para a função ser contínua em , os limites devem ser iguais ao valor da função:
Substituindo os valores que encontramos:
Isso nos dá a equação:

Passo 7

Resolvendo para :

Resposta

Para que a função seja contínua em toda a reta real, o valor de deve ser igual a 2.

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Esboce o gráfico da função.