Determine
e
para que as funções dadas seja contínua sobre toda reta real. Justifique.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar os valores de
e
para que a função
seja contínua em toda a reta real. A função está definida por partes:
Para garantir a continuidade em todo o domínio, precisamos que não haja “saltos” na função, especialmente no ponto onde a definição muda, que nesse caso é
. Vamos ver como garantir isso!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é continuidade. Uma função é contínua em um ponto se o limite pela esquerda, o limite pela direita e o valor da função nesse ponto são iguais. Então, no nosso caso, precisamos que:
Vamos calcular cada um desses valores.
Passo 3
Calculando
:
Como
está na primeira parte da função
:
Passo 4
Calculando o limite pela esquerda (
):
Usamos a primeira parte da função:
Passo 5
Calculando o limite pela direita (
):
Usamos a segunda parte da função:
Passo 6
Para a função ser contínua em
, os limites devem ser iguais ao valor da função:
Substituindo os valores que encontramos:
Isso nos dá a equação:
Passo 7
Resolvendo para
:
Resposta
Para que a função
seja contínua em toda a reta real, o valor de
deve ser igual a 2.
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Esboce o gráfico da função.