Determine e para que as funções dadas seja contínua sobre toda reta real. Justifique.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que envolve continuidade de funções. A gente tem uma função definida por partes e precisa encontrar os valores de e para que ela seja contínua em toda a reta real. Para isso, vamos usar o conceito de continuidade, que basicamente garante que não haja “saltos” ou “quebras” no gráfico da função. A gente vai precisar igualar os limites das diferentes partes da função nos pontos onde elas se encontram.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o ponto onde a função muda de definição em . Para a função ser contínua nesse ponto, o limite quando se aproxima de -1 pela esquerda deve ser igual ao limite quando se aproxima de -1 pela direita.
Limite pela esquerda ():
Limite pela direita ():
Igualando os dois limites:
çã
Passo 3
Agora, vamos analisar o ponto onde a função muda de definição em . Novamente, para a função ser contínua nesse ponto, os limites pela esquerda e pela direita devem ser iguais.
Limite pela esquerda ():
Limite pela direita ():
Igualando os dois limites:
çã
Passo 4
Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
çãçã
Vamos resolver esse sistema:
Subtraindo a Equação 1 da Equação 2:
Substituindo na Equação 1:
Resposta
Os valores que tornam a função contínua em toda a reta real são: