Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função definida por partes, que é tipo uma função que muda de expressão dependendo do valor de . A pergunta é: para quais valores de essa função não é contínua, ou seja, onde tem um “pulo” ou uma “quebra” no gráfico. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é continuidade e verificar onde a função pode ter essas quebras.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua em se três condições são satisfeitas:
A função está definida em .
O limite da função quando se aproxima de existe.
O limite é igual ao valor da função em .
Se alguma dessas condições não for atendida, a função é descontínua nesse ponto.
Passo 3
Agora, vamos identificar onde a função muda de expressão. Olhando para a definição por partes:
Os pontos onde a função muda de expressão são , e . Esses são os pontos onde precisamos verificar a continuidade.
Passo 4
Vamos começar verificando em .
Valor da função em :
A função não está definida exatamente em , já que as definições são e . Isso já indica uma possível descontinuidade.
Limite pela esquerda ( aproximando-se de 0 pelo lado negativo):
Usamos a expressão .
Limite pela direita ( aproximando-se de 0 pelo lado positivo):
Usamos a expressão .
Como os limites pela esquerda e pela direita não são iguais (), a função é descontínua em .
Passo 5
Agora, vamos verificar em .
Valor da função em :
Limite pela esquerda ( aproximando-se de 1 pelo lado negativo):
Antes de 1, usamos .
Limite pela direita ( aproximando-se de 1 pelo lado positivo):
Depois de 1, usamos .
Os limites pela esquerda e pela direita são iguais (), mas esse limite não é igual ao valor da função em 1 (). Então, a função também é descontínua em .
Passo 6
Por último, vamos verificar em .
Valor da função em :
A função não está definida exatamente em , já que as definições são e . Isso sugere outra possível descontinuidade.
Limite pela esquerda ( aproximando-se de 2 pelo lado negativo):
Usamos a expressão .
Limite pela direita ( aproximando-se de 2 pelo lado positivo):
Usamos a expressão .
Ambos os limites são iguais (), mas a função não está definida exatamente em . Mesmo assim, como os limites se igualam, podemos considerar que a função não apresenta descontinuidade nesse ponto específico.