Considere a função abaixo.
Para quais valores de a função é descontínua?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função definida por partes, que é tipo uma função que muda de expressão dependendo do valor de . A pergunta é: para quais valores de essa função não é contínua, ou seja, onde tem um “pulo” ou uma “quebra” no gráfico. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é continuidade e verificar onde a função pode ter essas quebras.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua em se três condições são satisfeitas:
  1. A função está definida em .
  2. O limite da função quando se aproxima de existe.
  3. O limite é igual ao valor da função em .
Se alguma dessas condições não for atendida, a função é descontínua nesse ponto.

Passo 3

Agora, vamos identificar onde a função muda de expressão. Olhando para a definição por partes:
Os pontos onde a função muda de expressão são , e . Esses são os pontos onde precisamos verificar a continuidade.

Passo 4

Vamos começar verificando em .
Valor da função em :
A função não está definida exatamente em , já que as definições são e . Isso já indica uma possível descontinuidade.
Limite pela esquerda ( aproximando-se de 0 pelo lado negativo):
Usamos a expressão .
Limite pela direita ( aproximando-se de 0 pelo lado positivo):
Usamos a expressão .
Como os limites pela esquerda e pela direita não são iguais ( ), a função é descontínua em .

Passo 5

Agora, vamos verificar em .
Valor da função em :
Limite pela esquerda ( aproximando-se de 1 pelo lado negativo):
Antes de 1, usamos .
Limite pela direita ( aproximando-se de 1 pelo lado positivo):
Depois de 1, usamos .
Os limites pela esquerda e pela direita são iguais ( ), mas esse limite não é igual ao valor da função em 1 ( ). Então, a função também é descontínua em .

Passo 6

Por último, vamos verificar em .
Valor da função em :
A função não está definida exatamente em , já que as definições são e . Isso sugere outra possível descontinuidade.
Limite pela esquerda ( aproximando-se de 2 pelo lado negativo):
Usamos a expressão .
Limite pela direita ( aproximando-se de 2 pelo lado positivo):
Usamos a expressão .
Ambos os limites são iguais ( ), mas a função não está definida exatamente em . Mesmo assim, como os limites se igualam, podemos considerar que a função não apresenta descontinuidade nesse ponto específico.

Resposta

A função é descontínua em e .

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Descreva em quais intervalos as funções a seguir são contínuas.