Considere a função analítica definida por
O valor da série

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma função e precisa encontrar o valor da série infinita:
Aqui, estamos lidando com séries infinitas e funções hiperbólicas. Para resolver isso, vamos usar o desenvolvimento em série de Taylor da função hiperbólica seno ( ) e adaptar para calcular a soma que você precisa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a função hiperbólica seno ( ). Ela é definida pela série de Taylor:
Isso significa que pode ser escrito como a soma de termos que seguem o padrão para de 0 até o infinito.

Passo 3

Agora, vamos analisar a série que queremos encontrar:
Comparando com a série de , notamos que os expoentes de na série do seno hiperbólico são , enquanto na nossa série são apenas . Isso significa que elas não são diretamente iguais, mas podemos tentar manipular para relacioná-las.

Passo 4

Vamos tentar relacionar nossa série com a série de . Vamos substituir por na série de :
Observe que aqui os termos têm potências de ímpares ( ), enquanto na nossa série os termos têm todas as potências de .

Passo 5

Para conectar as duas séries, vamos considerar a seguinte relação. Sabemos que:
Agora, somando essas duas equações, temos:
E subtraindo:
Mas nossa série não é exatamente , então vamos pensar em outra abordagem.

Passo 6

Vamos tentar expressar nossa série em termos da série de e . Sabemos que:
Se subtrairmos os termos de ordem par dessa série, restarão apenas os termos de ordem ímpar:
No entanto, nossa série tem todos os termos de de 1 em diante com denominadores . Precisamos ajustar isso.

Passo 7

Vamos reescrever nossa série começando de :
Agora, compare isso com a série de :
Vemos que, na nossa série, a potência de é , enquanto em é . Não há uma relação direta clara, então vamos tentar outra abordagem.

Passo 8

Vamos considerar a derivada da função . Sabemos que:
Integrando , obtemos novamente . Essa relação não nos ajuda diretamente, então precisamos pensar em outra estratégia.

Passo 9

Vamos considerar a função dada e seu desenvolvimento em série:
Se substituirmos , teremos:
Isso nos dá uma relação interessante!

Passo 10

Observando a última equação:
Podemos isolar a soma que precisamos:
Agora, como a nossa série original começa de , precisamos ajustar isso. A soma de inclui o termo quando :
Portanto:

Resposta

O valor da série é:

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(a) .
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