Considere a função analítica f: R R definida por
f(x)=sinh x
O valor da série
sumn=1^infty pi^n(2 n+1)!

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma função sumn=1^infty pi^n(2n + 1)! e precisa encontrar o valor da série infinita:
Aqui, estamos lidando com séries infinitas e funções hiperbólicas. Para resolver isso, vamos usar o desenvolvimento em série de Taylor da função hiperbólica seno ( ) e adaptar para calcular a soma que você precisa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a função hiperbólica seno ( sinh x = sumn=0^infty x^2n + 1(2n + 1)! ). Ela é definida pela série de Taylor:
Isso significa que pode ser escrito como a soma de termos que seguem o padrão para de 0 até o infinito.

Passo 3

Agora, vamos analisar a série que queremos encontrar:
sumn=1^infty pi^n(2n + 1)!
Comparando com a série de , notamos que os expoentes de na série do seno hiperbólico são , enquanto na nossa série são apenas . Isso significa que elas não são diretamente iguais, mas podemos tentar manipular para relacioná-las.

Passo 4

Vamos tentar relacionar nossa série com a série de sinh pi = sumn=0^infty pi^2n + 1(2n + 1)! . Vamos substituir por na série de :
Observe que aqui os termos têm potências de ímpares ( ), enquanto na nossa série os termos têm todas as potências de .

Passo 5

Para conectar as duas séries, vamos considerar a seguinte relação. Sabemos que:
e^pi = sumn=0^infty pi^nn!
e^-pi = sumn=0^infty (-pi)^nn!
Agora, somando essas duas equações, temos:
e^pi + e^-pi = 2 sumn=0^infty pi^2n(2n)! = 2 cosh pi
E subtraindo:
e^pi - e^-pi = 2 sinh pi
Mas nossa série não é exatamente , então vamos pensar em outra abordagem.

Passo 6

Vamos tentar expressar nossa série em termos da série de e^pi = sumn=0^infty pi^nn! e e^pi - sumn=0^infty pi^2n(2n)! = sumn=0^infty pi^2n +1(2n +1)! = sinh pi . Sabemos que:
Se subtrairmos os termos de ordem par dessa série, restarão apenas os termos de ordem ímpar:
No entanto, nossa série tem todos os termos de de 1 em diante com denominadores . Precisamos ajustar isso.

Passo 7

Vamos reescrever nossa série começando de sumn=0^infty pi^n(2n +1)! :
sinh pi = sumn=0^infty pi^2n +1(2n +1)!
Agora, compare isso com a série de :
Vemos que, na nossa série, a potência de é , enquanto em é . Não há uma relação direta clara, então vamos tentar outra abordagem.

Passo 8

Vamos considerar a derivada da função ddx sinh x = cosh x = sumn=0^infty x^2n(2n)! . Sabemos que:
Integrando , obtemos novamente . Essa relação não nos ajuda diretamente, então precisamos pensar em outra estratégia.

Passo 9

Vamos considerar a função dada f(x) = sinh x = sumn=0^infty x^2n +1(2n +1)! e seu desenvolvimento em série:
sinh raizpi = sumn=0^infty (raizpi)^2n +1(2n +1)! = raizpi sumn=0^infty pi^n(2n +1)!
Se substituirmos , teremos:
Isso nos dá uma relação interessante!

Passo 10

Observando a última equação:
sinh raizpi = raizpi sumn=0^infty pi^n(2n +1)!
Podemos isolar a soma que precisamos:
sumn=0^infty pi^n(2n +1)! = sinh raizpiraizpi
Agora, como a nossa série original começa de pi^0(2 cdot 0 +1)! = 11! = 1 , precisamos ajustar isso. A soma de sumn=1^infty pi^n(2n +1)! = sinh raizpiraizpi - 1 inclui o termo quando :
Portanto:

Resposta

O valor da série é:
sumn=1^infty pi^n(2n +1)! = sinh raizpiraizpi - 1

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