Considere a função analítica
definida por
O valor da série
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma função
e precisa encontrar o valor da série infinita:
Aqui, estamos lidando com séries infinitas e funções hiperbólicas. Para resolver isso, vamos usar o desenvolvimento em série de Taylor da função hiperbólica seno (
) e adaptar para calcular a soma que você precisa.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a função hiperbólica seno (
). Ela é definida pela série de Taylor:
Isso significa que
pode ser escrito como a soma de termos que seguem o padrão
para
de 0 até o infinito.
Passo 3
Agora, vamos analisar a série que queremos encontrar:
Comparando com a série de
, notamos que os expoentes de
na série do seno hiperbólico são
, enquanto na nossa série são apenas
. Isso significa que elas não são diretamente iguais, mas podemos tentar manipular para relacioná-las.
Passo 4
Vamos tentar relacionar nossa série com a série de
. Vamos substituir
por
na série de
:
Observe que aqui os termos têm potências de
ímpares (
), enquanto na nossa série os termos têm todas as potências de
.
Passo 5
Para conectar as duas séries, vamos considerar a seguinte relação. Sabemos que:
Agora, somando essas duas equações, temos:
E subtraindo:
Mas nossa série não é exatamente
, então vamos pensar em outra abordagem.
Passo 6
Vamos tentar expressar nossa série em termos da série de
e
. Sabemos que:
Se subtrairmos os termos de ordem par dessa série, restarão apenas os termos de ordem ímpar:
No entanto, nossa série tem todos os termos de
de 1 em diante com denominadores
. Precisamos ajustar isso.
Passo 7
Vamos reescrever nossa série começando de
:
Agora, compare isso com a série de
:
Vemos que, na nossa série, a potência de
é
, enquanto em
é
. Não há uma relação direta clara, então vamos tentar outra abordagem.
Passo 8
Vamos considerar a derivada da função
. Sabemos que:
Integrando
, obtemos novamente
. Essa relação não nos ajuda diretamente, então precisamos pensar em outra estratégia.
Passo 9
Vamos considerar a função dada
e seu desenvolvimento em série:
Se substituirmos
, teremos:
Isso nos dá uma relação interessante!
Passo 10
Observando a última equação:
Podemos isolar a soma que precisamos:
Agora, como a nossa série original começa de
, precisamos ajustar isso. A soma de
inclui o termo quando
:
Portanto:
Resposta
O valor da série é:
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definida por
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e seu intervalo de convergência.
(d) Dê um exemplo de uma função que tenha pelo menos um extremo absoluto em um ponto crítico.
Determine os pontos críticos das funções a seguir:
(a) .
(a)
(a) Quais critérios você conhece para decidir se um ponto crítico é ou não um extremo local?