Determine os pontos críticos das funções a seguir:
(a) f(x) = x^3 - 3 x^2 - 9 x + 15.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício que pede para encontrar os pontos críticos da função .
O que são pontos críticos?
Pontos críticos de uma função são onde a derivada da função é igual a zero ou não existe. Eles são importantes porque podem indicar máximos, mínimos ou pontos de inflexão da função.
O que vamos precisar:
  1. Derivada da função: Para encontrar onde a derivada é zero.
  2. Resolver a equação derivada igual a zero: Para encontrar os valores de que são pontos críticos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função .
A derivada de , denotada por , nos dá a taxa de variação de em relação a .
Para a função , aplicamos as regras de derivação:
Calculando cada termo:

Passo 3

Agora que temos a derivada , vamos encontrar os pontos onde .
Isso significa resolver a equação:
Primeiro, vamos simplificar a equação dividindo todos os termos por 3:

Passo 4

Para resolver a equação quadrática , podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Onde , e .
Substituindo na fórmula:
Calculando passo a passo:
Isso nos dá duas soluções:

Passo 5

Então, os valores de que tornam são e . Esses são os pontos críticos da função.

Resposta

Os pontos críticos da função são e .

Exercícios relacionados