(a) Quais critérios você conhece para decidir se um ponto crítico é ou não um extremo local?

Passo 1

Beleza, então o que a gente tem aqui é uma pergunta sobre pontos críticos e como decidir se eles são extremos locais, tipo máximos ou mínimos. Isso tá dentro da matéria de Cálculo, mais especificamente quando a gente estuda derivadas e como elas nos ajudam a analisar gráficos de funções. Pra resolver isso, a gente vai precisar falar sobre alguns critérios que usamos para identificar esses extremos, como os testes da primeira e da segunda derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um ponto crítico. Um ponto crítico de uma função é onde a primeira derivada é igual a zero ou não existe. Esses pontos são candidatos a serem máximos ou mínimos locais.

Passo 3

O Primeiro Critério da Derivada, ou Teste da Primeira Derivada, é uma das maneiras de verificar se um ponto crítico é um extremo local. A ideia é olhar para o sinal da derivada antes e depois do ponto crítico:
  • Se muda de positivo para negativo nesse ponto, então temos um máximo local.
  • Se muda de negativo para positivo, então temos um mínimo local.
  • Se não há mudança de sinal, o ponto crítico não é um extremo local.
Isso funciona porque a derivada positiva indica que a função está subindo, e a derivada negativa indica que está descendo.

Passo 4

O Segundo Critério da Derivada, ou Teste da Segunda Derivada, também é muito útil. Aqui a gente olha para a segunda derivada no ponto crítico:
  • Se , a função é côncava para cima naquele ponto, indicando um mínimo local.
  • Se , a função é côncava para baixo, indicando um máximo local.
  • Se , o teste é inconclusivo e precisamos de outros métodos.
Esse teste é legal porque relaciona a concavidade da função com a forma dos extremos.

Passo 5

Além desses dois testes principais, às vezes a gente pode usar outros métodos, como analisar gráficos ou usar o Teste da Derivada de Ordem Superior se os primeiros testes não derem uma resposta clara. Mas, na maioria das vezes, os testes da primeira e segunda derivada são suficientes para identificar máximos e mínimos locais.

Resposta

Os principais critérios para determinar se um ponto crítico é um extremo local são o Teste da Primeira Derivada e o Teste da Segunda Derivada. O primeiro analisa a mudança de sinal da derivada para identificar máximos ou mínimos, enquanto o segundo examina a concavidade da função no ponto crítico para determinar a natureza do extremo.

Exercícios relacionados

Determine os pontos críticos das funções a seguir:
(a) .
Considere a função analítica definida por
O valor da série
Para determine intervalos de crescimento, de decrescimento e extremos locais. Esboçe o gráfico da função.
Considere a função . Verifique que admite pontos de mínimo global e de máximo local, mas não admite pontos de máximo global. Cuidado: a função não é derivável em todos os pontos de seu domínio. (Resp: min globais local .