(a) Quais critérios você conhece para decidir se um ponto crítico é ou não um extremo local?
Passo 1
Beleza, então o que a gente tem aqui é uma pergunta sobre pontos críticos e como decidir se eles são extremos locais, tipo máximos ou mínimos. Isso tá dentro da matéria de Cálculo, mais especificamente quando a gente estuda derivadas e como elas nos ajudam a analisar gráficos de funções. Pra resolver isso, a gente vai precisar falar sobre alguns critérios que usamos para identificar esses extremos, como os testes da primeira e da segunda derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um ponto crítico. Um ponto crítico de uma função é onde a primeira derivada é igual a zero ou não existe. Esses pontos são candidatos a serem máximos ou mínimos locais.
Passo 3
O Primeiro Critério da Derivada, ou Teste da Primeira Derivada, é uma das maneiras de verificar se um ponto crítico é um extremo local. A ideia é olhar para o sinal da derivada antes e depois do ponto crítico:
Se muda de positivo para negativo nesse ponto, então temos um máximo local.
Se muda de negativo para positivo, então temos um mínimo local.
Se não há mudança de sinal, o ponto crítico não é um extremo local.
Isso funciona porque a derivada positiva indica que a função está subindo, e a derivada negativa indica que está descendo.
Passo 4
O Segundo Critério da Derivada, ou Teste da Segunda Derivada, também é muito útil. Aqui a gente olha para a segunda derivada no ponto crítico:
Se , a função é côncava para cima naquele ponto, indicando um mínimo local.
Se , a função é côncava para baixo, indicando um máximo local.
Se , o teste é inconclusivo e precisamos de outros métodos.
Esse teste é legal porque relaciona a concavidade da função com a forma dos extremos.
Passo 5
Além desses dois testes principais, às vezes a gente pode usar outros métodos, como analisar gráficos ou usar o Teste da Derivada de Ordem Superior se os primeiros testes não derem uma resposta clara. Mas, na maioria das vezes, os testes da primeira e segunda derivada são suficientes para identificar máximos e mínimos locais.
Resposta
Os principais critérios para determinar se um ponto crítico é um extremo local são o Teste da Primeira Derivada e o Teste da Segunda Derivada. O primeiro analisa a mudança de sinal da derivada para identificar máximos ou mínimos, enquanto o segundo examina a concavidade da função no ponto crítico para determinar a natureza do extremo.