Determine as coordenadas do centro de gravidade da região plana especificada:
(14.3) Área delimitada pela parábola e pela reta . a

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Queremos encontrar as coordenadas do centro de gravidade (ou centroide) da região plana que está delimitada pela parábola e pela reta , onde . Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo integral e entender como calcular o centroide de uma região.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região que estamos analisando. A parábola abre para a direita e a reta é uma linha vertical que corta a parábola. O ponto de interseção dessas duas curvas ocorre quando substituímos na equação da parábola:
Então, a região está limitada entre e na vertical, e de a na horizontal.

Passo 3

Para encontrar o centroide da região, usamos as seguintes fórmulas:
Onde é a área da região , e é um elemento de área.

Passo 4

Primeiro, vamos calcular a área da região. Como a parábola é simétrica em relação ao eixo , podemos calcular a área de uma metade (por exemplo, ) e depois multiplicar por 2.
A expressão para em termos de é:
Então, a área é:

Passo 5

Vamos resolver a integral para encontrar :
Sabemos que:
Então:

Passo 6

Agora, vamos calcular :
Como , temos:

Passo 7

Resolvendo a integral:
Então:

Passo 8

Agora, vamos calcular . Observe que a região é simétrica em relação ao eixo , ou seja, para cada ponto com coordenada positiva, existe um ponto correspondente com coordenada negativa. Isso faz com que .

Resposta

As coordenadas do centro de gravidade da região são .

Exercícios relacionados

Encontre a área da superfície obtida pela rotação da curva dada em torno do eixo :
(a)
Considere a função:
Encontre valores reais para e tais que a função seja contínua nos pontos e .
Encontre todos os pontos de interseç̧ões da curva dada:
e o polo
Seja a região do plano limitado pelas curvas e .
A região é girado em torno da reta formando um sólido . Calcule o volume de , usando o teorema de Pappus-Guldin.