Determine as coordenadas do centro de gravidade da região plana especificada:
(14.3) Área delimitada pela parábola
e pela reta
. a
(14.3) Área delimitada pela parábola
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Queremos encontrar as coordenadas do centro de gravidade (ou centroide) da região plana que está delimitada pela parábola
e pela reta
, onde
. Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo integral e entender como calcular o centroide de uma região.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região que estamos analisando. A parábola
abre para a direita e a reta
é uma linha vertical que corta a parábola. O ponto de interseção dessas duas curvas ocorre quando substituímos
na equação da parábola:
Então, a região está limitada entre
e
na vertical, e de
a
na horizontal.
Passo 3
Para encontrar o centroide
da região, usamos as seguintes fórmulas:
Onde
é a área da região
, e
é um elemento de área.
Passo 4
Primeiro, vamos calcular a área
da região. Como a parábola é simétrica em relação ao eixo
, podemos calcular a área de uma metade (por exemplo,
) e depois multiplicar por 2.
A expressão para
em termos de
é:
Então, a área
é:
Passo 5
Vamos resolver a integral para encontrar
:
Sabemos que:
Então:
Passo 6
Agora, vamos calcular
:
Como
, temos:
Passo 7
Resolvendo a integral:
Então:
Passo 8
Agora, vamos calcular
. Observe que a região é simétrica em relação ao eixo
, ou seja, para cada ponto com coordenada
positiva, existe um ponto correspondente com coordenada
negativa. Isso faz com que
.
Resposta
As coordenadas do centro de gravidade da região são
.