Determine as coordenadas do centro de gravidade da região plana especificada:
(14.3) Área delimitada pela parábola e pela reta . a
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Queremos encontrar as coordenadas do centro de gravidade (ou centroide) da região plana que está delimitada pela parábola e pela reta , onde . Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo integral e entender como calcular o centroide de uma região.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região que estamos analisando. A parábola abre para a direita e a reta é uma linha vertical que corta a parábola. O ponto de interseção dessas duas curvas ocorre quando substituímos na equação da parábola:
Então, a região está limitada entre e na vertical, e de a na horizontal.
Passo 3
Para encontrar o centroide da região, usamos as seguintes fórmulas:
Onde é a área da região , e é um elemento de área.
Passo 4
Primeiro, vamos calcular a área da região. Como a parábola é simétrica em relação ao eixo , podemos calcular a área de uma metade (por exemplo, ) e depois multiplicar por 2.
A expressão para em termos de é:
Então, a área é:
Passo 5
Vamos resolver a integral para encontrar :
Sabemos que:
Então:
Passo 6
Agora, vamos calcular :
Como , temos:
Passo 7
Resolvendo a integral:
Então:
Passo 8
Agora, vamos calcular . Observe que a região é simétrica em relação ao eixo , ou seja, para cada ponto com coordenada positiva, existe um ponto correspondente com coordenada negativa. Isso faz com que .
Resposta
As coordenadas do centro de gravidade da região são .