Considere a função contínua
dada por
Calcule a área total da região limitada pelo gráfico da função
, pelo eixo
e as retas
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área total da região que está limitada pelo gráfico da função
, pelo eixo
, e pelas retas
e
. Para isso, vamos usar o conceito de integração, que é uma ferramenta matemática que nos ajuda a encontrar áreas sob curvas. Como a função
é definida em dois pedaços diferentes, vamos dividir o problema em partes para facilitar.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os intervalos onde a função
é definida de forma diferente:
- Para
, temos . - Para
, temos .
Como a função muda de expressão no ponto
, vamos calcular a área separadamente em cada intervalo e depois somar os resultados.
Passo 3
Vamos começar calculando a área entre
e
. A área
pode ser encontrada integrando
nesse intervalo:
Para resolver essa integral, precisamos lembrar que a integral de
em relação a
é
, e a integral de uma constante é a constante multiplicada por
.
Passo 4
Vamos integrar cada parte de
:
Onde
é a constante de integração, que não precisamos considerar aqui porque vamos calcular o valor definido da integral.
Passo 5
Agora, vamos calcular
substituindo os limites de integração:
Simplificando:
Calculando numericamente (usando
):
Passo 6
Agora, vamos calcular a área entre
e
. A área
é dada por:
Essa é uma integral de uma função linear, que é mais simples de resolver.
Passo 7
Integrando a função linear:
Passo 8
Calculando
substituindo os limites de integração:
Simplificando:
Passo 9
Finalmente, a área total
é a soma de
e
:
Resposta
A área total da região é aproximadamente 3,28 unidades de área.
Exercícios relacionados
Considere a função contínua
dada por
Interprete o resultado anterior em termos de áreas.
Considere a função contínua
dada por
Calcule
Seja
a região compreendida entre os gráficos de
e
.
Encontre a área da região (Use a representação mais conveniente).
Encontre a área da região
Um sólido
é delimitado pelo cone
e pelo plano
. A densidade
, no ponto
, é diretamente proporcional à distância do ponto
ao eixo
. Encontre a massa de
.