Considere a função contínua dada por
Calcule a área total da região limitada pelo gráfico da função , pelo eixo e as retas e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área total da região que está limitada pelo gráfico da função , pelo eixo , e pelas retas e . Para isso, vamos usar o conceito de integração, que é uma ferramenta matemática que nos ajuda a encontrar áreas sob curvas. Como a função é definida em dois pedaços diferentes, vamos dividir o problema em partes para facilitar.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os intervalos onde a função é definida de forma diferente:
  1. Para , temos .
  2. Para , temos .
Como a função muda de expressão no ponto , vamos calcular a área separadamente em cada intervalo e depois somar os resultados.

Passo 3

Vamos começar calculando a área entre e . A área pode ser encontrada integrando nesse intervalo:
Para resolver essa integral, precisamos lembrar que a integral de em relação a é , e a integral de uma constante é a constante multiplicada por .

Passo 4

Vamos integrar cada parte de :
Onde é a constante de integração, que não precisamos considerar aqui porque vamos calcular o valor definido da integral.

Passo 5

Agora, vamos calcular substituindo os limites de integração:
Simplificando:
Calculando numericamente (usando ):

Passo 6

Agora, vamos calcular a área entre e . A área é dada por:
Essa é uma integral de uma função linear, que é mais simples de resolver.

Passo 7

Integrando a função linear:

Passo 8

Calculando substituindo os limites de integração:
Simplificando:

Passo 9

Finalmente, a área total é a soma de e :

Resposta

A área total da região é aproximadamente 3,28 unidades de área.

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