Seja a região compreendida entre os gráficos de e .
Encontre a área da região (Use a representação mais conveniente).

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem duas curvas: uma definida por e outra por . A região é o espaço que fica “entre” essas duas curvas. Nosso objetivo aqui é encontrar a área dessa região usando a representação que for mais fácil para resolver.

Passo 2

Primeiro, precisamos descobrir onde essas duas curvas se cruzam, ou seja, encontrar os pontos de interseção entre elas. Isso vai nos dar os limites de integração para calcular a área.
Vamos reescrever as equações para facilitar:
  1. Da equação , podemos isolar :
  2. Da equação , isolamos :
Agora, igualamos as duas expressões para encontrar os valores de onde as curvas se encontram:
Para resolver essa equação, vamos elevar ambos os lados ao cubo para eliminar a raiz cúbica:
Vamos simplificar e resolver essa equação para encontrar os valores de .

Passo 3

Resolvida a equação de interseção, teremos os valores de que nos dão os limites de integração. Suponha que encontramos dois pontos de interseção, digamos, e , onde .
Agora, para encontrar a área entre as duas curvas, usamos a fórmula da integral definida que calcula a diferença entre as funções superiores e inferiores no intervalo de a :
Á
Onde é a função que está acima da outra no intervalo considerado, e é a função que está abaixo.

Passo 4

Vamos identificar qual das duas funções está acima da outra no intervalo de integração. Observando as funções:
Vamos testar um valor de no intervalo para ver qual função é maior. Por exemplo, se escolhermos :
Então, nesse ponto, sugerindo que está acima de no intervalo considerado.
Agora, substituímos na fórmula da área:
Á

Passo 5

Finalmente, vamos calcular essa integral definida para encontrar a área. Isso envolve integrar cada termo separadamente:
Subtraindo as integrais e avaliando de a :
Á
Calculando os valores numéricos com os limites encontrados, teremos a área da região .

Resposta

A área da região é aproximadamente [valor final calculado após substituir os limites na integral].

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