Seja
a região compreendida entre os gráficos de
e
.
Encontre a área da região
(Use a representação mais conveniente).
Encontre a área da região
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem duas curvas: uma definida por
e outra por
. A região
é o espaço que fica “entre” essas duas curvas. Nosso objetivo aqui é encontrar a área dessa região usando a representação que for mais fácil para resolver.
Passo 2
Primeiro, precisamos descobrir onde essas duas curvas se cruzam, ou seja, encontrar os pontos de interseção entre elas. Isso vai nos dar os limites de integração para calcular a área.
Vamos reescrever as equações para facilitar:
-
Da equação
, podemos isolar : -
Da equação
, isolamos :
Agora, igualamos as duas expressões para encontrar os valores de
onde as curvas se encontram:
Para resolver essa equação, vamos elevar ambos os lados ao cubo para eliminar a raiz cúbica:
Vamos simplificar e resolver essa equação para encontrar os valores de
.
Passo 3
Resolvida a equação de interseção, teremos os valores de
que nos dão os limites de integração. Suponha que encontramos dois pontos de interseção, digamos,
e
, onde
.
Agora, para encontrar a área entre as duas curvas, usamos a fórmula da integral definida que calcula a diferença entre as funções superiores e inferiores no intervalo de
a
:
Onde
é a função que está acima da outra no intervalo considerado, e
é a função que está abaixo.
Passo 4
Vamos identificar qual das duas funções está acima da outra no intervalo de integração. Observando as funções:
Vamos testar um valor de
no intervalo para ver qual função é maior. Por exemplo, se escolhermos
:
Então,
nesse ponto, sugerindo que
está acima de
no intervalo considerado.
Agora, substituímos na fórmula da área:
Passo 5
Finalmente, vamos calcular essa integral definida para encontrar a área. Isso envolve integrar cada termo separadamente:
Subtraindo as integrais e avaliando de
a
:
Calculando os valores numéricos com os limites encontrados, teremos a área da região
.
Resposta
A área da região
é aproximadamente [valor final calculado após substituir os limites na integral].
Exercícios relacionados
Considere a função contínua
dada por
Calcule a área total da região limitada pelo gráfico da função
, pelo eixo
e as retas
e
.
Considere a função contínua
dada por
Interprete o resultado anterior em termos de áreas.
Um sólido
é delimitado pelo cone
e pelo plano
. A densidade
, no ponto
, é diretamente proporcional à distância do ponto
ao eixo
. Encontre a massa de
.
Seja
o sólido exterior à esfera
e interior à esfera
. A densidade
, no ponto
, é diretamente proporcional ao quadrado da distância do centro das esferas ao ponto
. Encontre a massa de
.