Um sólido S é delimitado pelo cone z = raiz(x^2 + y^2) e pelo plano z = 4. A densidade delta(x, y, z), no ponto (x, y, z), é diretamente proporcional à distância do ponto (x, y, z) ao eixo z. Encontre a massa de S.

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo e quais conceitos vamos utilizar. Temos um sólido S delimitado pelo cone e pelo plano . A densidade em cada ponto desse sólido é diretamente proporcional à distância desse ponto ao eixo z. Nosso objetivo é encontrar a massa desse sólido S.
Para resolver isso, precisamos usar conceitos de cálculo integral, mais especificamente integrais triplas, já que estamos lidando com um volume tridimensional. Vamos precisar parametrizar o sólido, escolher um sistema de coordenadas adequado (no caso, coordenadas cilíndricas vão facilitar), e então configurar e calcular a integral da densidade sobre o volume do sólido.

Passo 2

Vamos começar escolhendo coordenadas cilíndricas, porque o problema tem simetria axial em relação ao eixo z. Nas coordenadas cilíndricas, as coordenadas (x, y, z) são representadas como , onde r é a distância radial ao eixo z, theta é o ângulo, e z permanece o mesmo.
Nesse sistema, o cone se torna , já que .

Passo 3

A densidade delta(x, y, z) é diretamente proporcional à distância do ponto ao eixo z. Isso significa que delta pode ser expressa como:
onde k é a constante de proporcionalidade e r é a distância ao eixo z.

Passo 4

A massa M do sólido S é dada pela integral da densidade sobre todo o volume do sólido:
Em coordenadas cilíndricas, o elemento de volume é dado por . Então, a expressão para a massa fica:

Passo 5

Agora precisamos determinar os limites de integração. Observando o sólido S, temos que:
  • O cone é dado por
  • O plano é
Então, para cada z, o raio r varia de 0 até z (pois no cone , então ). O ângulo theta varia de 0 a para cobrir toda a circunferência.
Portanto, os limites de integração são:
  • r de 0 a z
  • theta de 0 a
  • z de 0 a

Passo 6

Substituindo os limites na integral, temos:
Vamos resolver essa integral passo a passo.

Passo 7

Primeiro, resolvemos a integral em relação a r:

Passo 8

Substituindo esse resultado na integral, temos:
Podemos tirar a constante 1/3 para fora da integral:

Passo 9

Agora, resolvemos a integral em relação a z:

Passo 10

Substituindo esse valor na integral, temos:

Passo 11

Resolvendo a última integral em relação a theta:

Passo 12

Finalmente, substituindo esse resultado, obtemos:

Resposta

A massa do sólido S é:

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