Um sólido é delimitado pelo cone e pelo plano . A densidade , no ponto , é diretamente proporcional à distância do ponto ao eixo . Encontre a massa de .

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo e quais conceitos vamos utilizar. Temos um sólido delimitado pelo cone e pelo plano . A densidade em cada ponto desse sólido é diretamente proporcional à distância desse ponto ao eixo . Nosso objetivo é encontrar a massa desse sólido .
Para resolver isso, precisamos usar conceitos de cálculo integral, mais especificamente integrais triplas, já que estamos lidando com um volume tridimensional. Vamos precisar parametrizar o sólido, escolher um sistema de coordenadas adequado (no caso, coordenadas cilíndricas vão facilitar), e então configurar e calcular a integral da densidade sobre o volume do sólido.

Passo 2

Vamos começar escolhendo coordenadas cilíndricas, porque o problema tem simetria axial em relação ao eixo . Nas coordenadas cilíndricas, as coordenadas são representadas como , onde é a distância radial ao eixo , é o ângulo, e permanece o mesmo.
Nesse sistema, o cone se torna , já que .

Passo 3

A densidade é diretamente proporcional à distância do ponto ao eixo . Isso significa que pode ser expressa como:
onde é a constante de proporcionalidade e é a distância ao eixo .

Passo 4

A massa do sólido é dada pela integral da densidade sobre todo o volume do sólido:
Em coordenadas cilíndricas, o elemento de volume é dado por . Então, a expressão para a massa fica:

Passo 5

Agora precisamos determinar os limites de integração. Observando o sólido , temos que:
  • O cone é dado por
  • O plano é
Então, para cada , o raio varia de até (pois no cone , então ). O ângulo varia de a para cobrir toda a circunferência.
Portanto, os limites de integração são:
  • de a
  • de a
  • de a

Passo 6

Substituindo os limites na integral, temos:
Vamos resolver essa integral passo a passo.

Passo 7

Primeiro, resolvemos a integral em relação a :

Passo 8

Substituindo esse resultado na integral, temos:
Podemos tirar a constante para fora da integral:

Passo 9

Agora, resolvemos a integral em relação a :

Passo 10

Substituindo esse valor na integral, temos:

Passo 11

Resolvendo a última integral em relação a :

Passo 12

Finalmente, substituindo esse resultado, obtemos:

Resposta

A massa do sólido é:

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em que é a fronteira de orientada no sentido anti-horário.
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