Um sólido
é delimitado pelo cone
e pelo plano
. A densidade
, no ponto
, é diretamente proporcional à distância do ponto
ao eixo
. Encontre a massa de
.
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo e quais conceitos vamos utilizar. Temos um sólido
delimitado pelo cone
e pelo plano
. A densidade em cada ponto desse sólido é diretamente proporcional à distância desse ponto ao eixo
. Nosso objetivo é encontrar a massa desse sólido
.
Para resolver isso, precisamos usar conceitos de cálculo integral, mais especificamente integrais triplas, já que estamos lidando com um volume tridimensional. Vamos precisar parametrizar o sólido, escolher um sistema de coordenadas adequado (no caso, coordenadas cilíndricas vão facilitar), e então configurar e calcular a integral da densidade sobre o volume do sólido.
Passo 2
Vamos começar escolhendo coordenadas cilíndricas, porque o problema tem simetria axial em relação ao eixo
. Nas coordenadas cilíndricas, as coordenadas
são representadas como
, onde
é a distância radial ao eixo
,
é o ângulo, e
permanece o mesmo.
Nesse sistema, o cone
se torna
, já que
.
Passo 3
A densidade
é diretamente proporcional à distância do ponto ao eixo
. Isso significa que
pode ser expressa como:
onde
é a constante de proporcionalidade e
é a distância ao eixo
.
Passo 4
A massa
do sólido
é dada pela integral da densidade sobre todo o volume do sólido:
Em coordenadas cilíndricas, o elemento de volume
é dado por
. Então, a expressão para a massa fica:
Passo 5
Agora precisamos determinar os limites de integração. Observando o sólido
, temos que:
- O cone é dado por
- O plano é
Então, para cada
, o raio
varia de
até
(pois no cone
, então
). O ângulo
varia de
a
para cobrir toda a circunferência.
Portanto, os limites de integração são:
-
de a -
de a -
de a
Passo 6
Substituindo os limites na integral, temos:
Vamos resolver essa integral passo a passo.
Passo 7
Primeiro, resolvemos a integral em relação a
:
Passo 8
Substituindo esse resultado na integral, temos:
Podemos tirar a constante
para fora da integral:
Passo 9
Agora, resolvemos a integral em relação a
:
Passo 10
Substituindo esse valor na integral, temos:
Passo 11
Resolvendo a última integral em relação a
:
Passo 12
Finalmente, substituindo esse resultado, obtemos:
Resposta
A massa do sólido
é:
Exercícios relacionados
Seja
a região compreendida entre os gráficos de
e
.
Encontre a área da região (Use a representação mais conveniente).
Encontre a área da região
Considere a função contínua
dada por
Calcule a área total da região limitada pelo gráfico da função
, pelo eixo
e as retas
e
.
Seja
o sólido exterior à esfera
e interior à esfera
. A densidade
, no ponto
, é diretamente proporcional ao quadrado da distância do centro das esferas ao ponto
. Encontre a massa de
.
Sendo
uma função de classe
tal que
em
, considere o conjunto
. Demonstre que se
são funções de classe
, então vale a identidade
em que
é a fronteira de
orientada no sentido anti-horário.
Sugestão: Escreva como reunião de três curvas, sendo
e
, coт
.
Sugestão: Escreva