Considere f(x) uma função contínua e definida num intervalo aberto (a,b). Suponha que você queira encontrar o valor f(xi), entretanto, essa função é bastante complexa ao nível de torná-la intratável no ponto xi. Uma maneira de contornar essa situação seria, utilizar uma aproximação linear de f(x) pela reta tangente T(x) no ponto x_{i-1} conforme a figura abaixo.
Em que E(x_i) é o erro que se comete ao aproximar f(xi) por T(x_i) no ponto x_{i-1}.
Dessa forma, encontre uma aproximação linear para f(27) = raiz(27). Sugestão, use o polinômio linear T(x) ≈ f(x0) + f'(x0) (x - x0), com x0 = 25, para aproximar f(x). Valor: 15 %.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão pede. Precisamos aproximar o valor de usando uma aproximação linear da função contínua no intervalo aberto . Para isso, vamos usar a reta tangente no ponto . Para resolver isso, vamos precisar calcular e a derivada .

Passo 2

Vamos começar calculando :

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada de . A função é , então a derivada é:
Calculando em :

Passo 4

Com e calculados, podemos montar o polinômio linear que aproxima perto de :

Passo 5

Agora, vamos usar essa reta tangente para aproximar :

Resposta

A aproximação linear de é 5.2.

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